كيفية إيجاد المتوسط ​​والوسيط والوضع والمدى والانحراف المعياري

تبسيط المقارنات بين مجموعات الأرقام ، وخاصة مجموعات الأرقام الكبيرة ، عن طريق حساب قيم المركز باستخدام المتوسط ​​والوضع والوسيط. استخدم النطاقات والانحرافات المعيارية للمجموعات لفحص تنوع البيانات.

المتوسط ​​يحدد القيمة المتوسطة لمجموعة الأرقام. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مجموعة البيانات التي تحتوي على القيم 20 ، 24 ، 25 ، 36 ، 25 ، 22 ، 23.

للعثور على المتوسط ​​، استخدم الصيغة: المتوسط ​​يساوي مجموع الأرقام في مجموعة البيانات مقسومًا على عدد القيم في مجموعة البيانات. من الناحية الرياضية:

\ text {Mean} = \ frac {\ text {sum of all terms}} {\ text {عدد المصطلحات أو القيم في المجموعة}}

يحدد الوسيط نقطة الوسط أو القيمة الوسطى لمجموعة من الأرقام.

رتب الأرقام من الأصغر إلى الأكبر. استخدم مثال مجموعة القيم: 20 ، 24 ، 25 ، 36 ، 25 ، 22 ، 23. بالترتيب ، تصبح المجموعة: 20 ، 22 ، 23 ، 24 ، 25 ، 25 ، 36.

إذا كانت مجموعة الأرقام تحتوي على عدد زوجي من القيم ، فاحسب متوسط ​​قيمتي المركز. على سبيل المثال ، افترض أن مجموعة الأرقام تحتوي على القيم 22 ، 23 ، 25 ، 26. يقع الوسط بين 23 و 25. إضافة 23 و 25 ينتج 48. بقسمة 48 على اثنين ، نحصل على وسيط يساوي 24.

يحدد الوضع القيمة أو القيم الأكثر شيوعًا في مجموعة البيانات. اعتمادًا على البيانات ، قد يكون هناك وضع واحد أو أكثر ، أو لا يوجد وضع على الإطلاق.

مثل إيجاد الوسيط ، رتب مجموعة البيانات من الأصغر إلى الأكبر. في مجموعة الأمثلة ، تصبح القيم المرتبة: 20 ، 22 ، 23 ، 24 ، 25 ، 25 ، 36.

يحدث الوضع عندما تتكرر القيم. في مجموعة الأمثلة ، تحدث القيمة 25 مرتين. لا توجد أرقام أخرى تتكرر. لذلك ، يكون الوضع هو القيمة 25.

في بعض مجموعات البيانات ، يحدث أكثر من وضع. تحتوي مجموعة البيانات 22 و 23 و 23 و 24 و 27 و 27 و 29 على وضعين ، أحدهما عند 23 و 27. قد تحتوي مجموعات البيانات الأخرى على أكثر من وضعين ، وقد تحتوي على أوضاع بها أكثر من رقمين (مثل 23 ، 23 ، 24 ، 24 ، 24 ، 28 ، 29: الوضع يساوي 24) أو قد لا يكون لديه أي أوضاع على الإطلاق (مثل 21 ، 23 ، 24 ، 25 ، 26 ، 27 ، 29). قد يحدث الوضع في أي مكان في مجموعة البيانات ، وليس فقط في الوسط.

يُظهر النطاق المسافة الرياضية بين أدنى وأعلى قيم في مجموعة البيانات. المدى يقيس التباين في مجموعة البيانات. يشير النطاق الواسع إلى تباين أكبر في البيانات ، أو ربما إلى حد بعيد واحد بعيدًا عن بقية البيانات. القيم المتطرفة قد تحرف ، أو تحول ، متوسط ​​القيمة الكافية للتأثير على تحليل البيانات.

في مجموعة العينات ، تتجاوز قيمة البيانات العالية البالغة 36 القيمة السابقة ، 25 ، بمقدار 11. تبدو هذه القيمة متطرفة ، بالنظر إلى القيم الأخرى في المجموعة. قد تكون قيمة 36 نقطة بيانات متقطعة.

الانحراف المعياري يقيس تنوع مجموعة البيانات. مثل النطاق ، يشير الانحراف المعياري الأصغر إلى تباين أقل.

يتطلب إيجاد الانحراف المعياري جمع الفرق التربيعي بين كل نقطة بيانات والمتوسط ​​[∑ (x​ − ​µ​)2] ، بإضافة كل المربعات ، وقسمة هذا المجموع على أقل من عدد القيم (ن- 1) ، وأخيراً حساب الجذر التربيعي للمقسوم. في صيغة واحدة ، هذا هو:

احسب المتوسط ​​بإضافة جميع قيم نقاط البيانات ، ثم القسمة على عدد نقاط البيانات. في مجموعة البيانات النموذجية ،

قسّم المجموع 175 على عدد نقاط البيانات 7 أو

بعد ذلك ، اطرح المتوسط ​​من كل نقطة بيانات ، ثم قم بتربيع كل فرق. تبدو الصيغة كما يلي:

حيث ∑ تعني المجموع ،xأنا يمثل كل قيمة مجموعة بيانات وµيمثل متوسط ​​القيمة. بالاستمرار في مجموعة الأمثلة ، تصبح القيم:

20-25 = -5 \ text {and} -5 ^ 2 = 25 \\ 24-25 = -1 \ text {and} -1 ^ 2 = 1 \\ 25-25 = 0 \ text {and} 0 ^ 2 = 0 \ 36-25 = 11 \ text {and} 11 ^ 2 = 121 \\ 25-25 = 0 \ text {and} 0 ^ 2 = 0 \\ 22-25 = -3 \ text {and} -3 ^ 2 = 9 \\ 23- 25 = -2 \ نص {و} -2^2=4

قسّم مجموع تربيع الفروق بمقدار واحد أقل من عدد نقاط البيانات. مجموعة البيانات النموذجية لها 7 قيم ، لذلكن- 1 يساوي 7-1 = 6. مجموع تربيع الفروق ، 160 ، مقسومًا على 6 يساوي 26.6667 تقريبًا.

احسب الانحراف المعياري بإيجاد الجذر التربيعي للقسمة علىن− 1. في هذا المثال ، الجذر التربيعي للرقم 26.6667 يساوي تقريبًا 5.164. لذلك ، فإن الانحراف المعياري يساوي 5.164 تقريبًا.

يساعد الانحراف المعياري في تقييم البيانات. تعد الأرقام في مجموعة البيانات التي تقع ضمن انحراف معياري واحد للمتوسط ​​جزءًا من مجموعة البيانات. الأرقام التي تقع خارج اثنين من الانحرافات المعيارية هي قيم متطرفة أو قيم متطرفة. في مجموعة الأمثلة ، تكمن القيمة 36 في أكثر من انحرافين معياريين عن المتوسط ​​، لذا فإن القيمة 36 هي قيمة خارجية. قد تمثل القيم المتطرفة بيانات خاطئة أو قد تشير إلى ظروف غير متوقعة ويجب أخذها في الاعتبار عند تفسير البيانات.

  • يشارك
instagram viewer