تبسيط المقارنات بين مجموعات الأرقام ، وخاصة مجموعات الأرقام الكبيرة ، عن طريق حساب قيم المركز باستخدام المتوسط والوضع والوسيط. استخدم النطاقات والانحرافات المعيارية للمجموعات لفحص تنوع البيانات.
المتوسط يحدد القيمة المتوسطة لمجموعة الأرقام. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مجموعة البيانات التي تحتوي على القيم 20 ، 24 ، 25 ، 36 ، 25 ، 22 ، 23.
للعثور على المتوسط ، استخدم الصيغة: المتوسط يساوي مجموع الأرقام في مجموعة البيانات مقسومًا على عدد القيم في مجموعة البيانات. من الناحية الرياضية:
\ text {Mean} = \ frac {\ text {sum of all terms}} {\ text {عدد المصطلحات أو القيم في المجموعة}}
يحدد الوسيط نقطة الوسط أو القيمة الوسطى لمجموعة من الأرقام.
رتب الأرقام من الأصغر إلى الأكبر. استخدم مثال مجموعة القيم: 20 ، 24 ، 25 ، 36 ، 25 ، 22 ، 23. بالترتيب ، تصبح المجموعة: 20 ، 22 ، 23 ، 24 ، 25 ، 25 ، 36.
إذا كانت مجموعة الأرقام تحتوي على عدد زوجي من القيم ، فاحسب متوسط قيمتي المركز. على سبيل المثال ، افترض أن مجموعة الأرقام تحتوي على القيم 22 ، 23 ، 25 ، 26. يقع الوسط بين 23 و 25. إضافة 23 و 25 ينتج 48. بقسمة 48 على اثنين ، نحصل على وسيط يساوي 24.
يحدد الوضع القيمة أو القيم الأكثر شيوعًا في مجموعة البيانات. اعتمادًا على البيانات ، قد يكون هناك وضع واحد أو أكثر ، أو لا يوجد وضع على الإطلاق.
مثل إيجاد الوسيط ، رتب مجموعة البيانات من الأصغر إلى الأكبر. في مجموعة الأمثلة ، تصبح القيم المرتبة: 20 ، 22 ، 23 ، 24 ، 25 ، 25 ، 36.
يحدث الوضع عندما تتكرر القيم. في مجموعة الأمثلة ، تحدث القيمة 25 مرتين. لا توجد أرقام أخرى تتكرر. لذلك ، يكون الوضع هو القيمة 25.
في بعض مجموعات البيانات ، يحدث أكثر من وضع. تحتوي مجموعة البيانات 22 و 23 و 23 و 24 و 27 و 27 و 29 على وضعين ، أحدهما عند 23 و 27. قد تحتوي مجموعات البيانات الأخرى على أكثر من وضعين ، وقد تحتوي على أوضاع بها أكثر من رقمين (مثل 23 ، 23 ، 24 ، 24 ، 24 ، 28 ، 29: الوضع يساوي 24) أو قد لا يكون لديه أي أوضاع على الإطلاق (مثل 21 ، 23 ، 24 ، 25 ، 26 ، 27 ، 29). قد يحدث الوضع في أي مكان في مجموعة البيانات ، وليس فقط في الوسط.
يُظهر النطاق المسافة الرياضية بين أدنى وأعلى قيم في مجموعة البيانات. المدى يقيس التباين في مجموعة البيانات. يشير النطاق الواسع إلى تباين أكبر في البيانات ، أو ربما إلى حد بعيد واحد بعيدًا عن بقية البيانات. القيم المتطرفة قد تحرف ، أو تحول ، متوسط القيمة الكافية للتأثير على تحليل البيانات.
في مجموعة العينات ، تتجاوز قيمة البيانات العالية البالغة 36 القيمة السابقة ، 25 ، بمقدار 11. تبدو هذه القيمة متطرفة ، بالنظر إلى القيم الأخرى في المجموعة. قد تكون قيمة 36 نقطة بيانات متقطعة.
الانحراف المعياري يقيس تنوع مجموعة البيانات. مثل النطاق ، يشير الانحراف المعياري الأصغر إلى تباين أقل.
يتطلب إيجاد الانحراف المعياري جمع الفرق التربيعي بين كل نقطة بيانات والمتوسط [∑ (x − µ)2] ، بإضافة كل المربعات ، وقسمة هذا المجموع على أقل من عدد القيم (ن- 1) ، وأخيراً حساب الجذر التربيعي للمقسوم. في صيغة واحدة ، هذا هو:
احسب المتوسط بإضافة جميع قيم نقاط البيانات ، ثم القسمة على عدد نقاط البيانات. في مجموعة البيانات النموذجية ،
قسّم المجموع 175 على عدد نقاط البيانات 7 أو
بعد ذلك ، اطرح المتوسط من كل نقطة بيانات ، ثم قم بتربيع كل فرق. تبدو الصيغة كما يلي:
حيث ∑ تعني المجموع ،xأنا يمثل كل قيمة مجموعة بيانات وµيمثل متوسط القيمة. بالاستمرار في مجموعة الأمثلة ، تصبح القيم:
20-25 = -5 \ text {and} -5 ^ 2 = 25 \\ 24-25 = -1 \ text {and} -1 ^ 2 = 1 \\ 25-25 = 0 \ text {and} 0 ^ 2 = 0 \ 36-25 = 11 \ text {and} 11 ^ 2 = 121 \\ 25-25 = 0 \ text {and} 0 ^ 2 = 0 \\ 22-25 = -3 \ text {and} -3 ^ 2 = 9 \\ 23- 25 = -2 \ نص {و} -2^2=4
قسّم مجموع تربيع الفروق بمقدار واحد أقل من عدد نقاط البيانات. مجموعة البيانات النموذجية لها 7 قيم ، لذلكن- 1 يساوي 7-1 = 6. مجموع تربيع الفروق ، 160 ، مقسومًا على 6 يساوي 26.6667 تقريبًا.
احسب الانحراف المعياري بإيجاد الجذر التربيعي للقسمة علىن− 1. في هذا المثال ، الجذر التربيعي للرقم 26.6667 يساوي تقريبًا 5.164. لذلك ، فإن الانحراف المعياري يساوي 5.164 تقريبًا.
يساعد الانحراف المعياري في تقييم البيانات. تعد الأرقام في مجموعة البيانات التي تقع ضمن انحراف معياري واحد للمتوسط جزءًا من مجموعة البيانات. الأرقام التي تقع خارج اثنين من الانحرافات المعيارية هي قيم متطرفة أو قيم متطرفة. في مجموعة الأمثلة ، تكمن القيمة 36 في أكثر من انحرافين معياريين عن المتوسط ، لذا فإن القيمة 36 هي قيمة خارجية. قد تمثل القيم المتطرفة بيانات خاطئة أو قد تشير إلى ظروف غير متوقعة ويجب أخذها في الاعتبار عند تفسير البيانات.