الجبر مليء بالأنماط المتكررة التي يمكنك حسابها عن طريق الحساب في كل مرة. ولكن نظرًا لأن هذه الأنماط شائعة جدًا ، فعادة ما توجد صيغة من نوع ما للمساعدة في تسهيل العمليات الحسابية. يعد مكعب ذات الحدين مثالًا رائعًا: إذا كان عليك حلها في كل مرة ، فستقضي الكثير من الوقت في العمل على قلم رصاص وورقة. ولكن بمجرد أن تعرف صيغة حل هذا المكعب (وبعض الحيل المفيدة لتذكره) ، فإن إيجاد إجابتك أمر بسيط مثل إدخال الحدود الصحيحة في الخانات المتغيرة الصحيحة.
TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم أقرأ)
صيغة مكعب ذات الحدين (أ + ب) هو:
(أ + ب)3 = أ3 + 3_a_2ب + 3_ab_2 + ب3
مكعب ذو الحدين
لا داعي للذعر عندما ترى مشكلة مثل (أ + ب)3 أمامك. بمجرد تقسيمها إلى مكوناتها المألوفة ، ستبدأ في الظهور كمسائل حسابية مألوفة أكثر قمت بها من قبل.
في هذه الحالة ، من المفيد تذكر ذلك
(أ + ب)3
بالضبط مثل
(أ + ب) (أ + ب) (أ + ب)، والتي يجب أن تبدو مألوفة أكثر.
ولكن بدلاً من إجراء العمليات الحسابية من البداية في كل مرة ، يمكنك استخدام "الاختصار" الخاص بالصيغة التي تمثل الإجابة التي ستحصل عليها. ها هي صيغة مكعب ذات الحدين:
(أ + ب)3 = أ3 + 3 أ2ب + 3 أب2 + ب3
لاستخدام الصيغة ، حدد الأرقام (أو المتغيرات) التي تشغل فتحات "أ" و "ب" على الجانب الأيسر من المعادلة ، ثم استبدل تلك الأرقام (أو المتغيرات) نفسها في الفتحات "أ" و "ب" على الجانب الأيمن من معادلة.
مثال 1: يحل (x + 5)3
كما ترون، x تحتل الفتحة "a" في الجانب الأيسر من الصيغة ، و 5 تحتل الفتحة "b". أستعاض x و 5 في الجانب الأيمن من الصيغة يمنحك:
x3 + 3x25 + 3 × 52 + 53
القليل من التبسيط يجعلك أقرب إلى الإجابة:
x3 + 3 (5) x2 + 3 (25) س + 125
وأخيرًا ، بمجرد التبسيط قدر الإمكان:
x3 + 15 ×2 + 75 × + 125
ماذا عن الطرح؟
لا تحتاج إلى صيغة مختلفة لحل مشكلة مثل (ص - 3)3. إذا كنت تتذكر ذلك ص - 3 بالضبط مثل ص + (-3)، يمكنك ببساطة إعادة كتابة المشكلة إلى [س + (-3)]3 وحلها باستخدام صيغتك المألوفة.
المثال 2: يحل (ص - 3)3
كما تمت مناقشته بالفعل ، فإن خطوتك الأولى هي إعادة كتابة المشكلة إلى [س + (-3)]3.
بعد ذلك ، تذكر الصيغة الخاصة بك لمكعب ذي الحدين:
(أ + ب)3 = أ3 + 3 أ2ب + 3 أب2 + ب3
في مشكلتك ، ذ تحتل الفتحة "a" على الجانب الأيسر من المعادلة ، و -3 تحتل الفتحة "b". عوض بها في الخانات المناسبة على الجانب الأيمن من المعادلة ، مع توخي الحذر الشديد مع الأقواس للحفاظ على علامة السالب أمام -3. يمنحك هذا:
ذ3 + 3 سنوات2(-3) + 3 سنوات (-3)2 + (-3)3
حان الآن وقت التبسيط. مرة أخرى ، انتبه جيدًا لتلك العلامة السلبية عند تطبيق الأس:
ذ3 + 3 (-3) ص2 + 3 (9) ص + (-27)
تمنحك جولة أخرى من التبسيط إجابتك:
ذ3 - 9 سنوات2 +27 سنة - 27
احترس من مجموع وفرق المكعبات
انتبه دائمًا إلى مكان وجود الدعاة في مشكلتك. إذا رأيت مشكلة في النموذج (أ + ب)3، أو [أ + (-ب)]3، فإن الصيغة التي تتم مناقشتها هنا مناسبة. ولكن إذا كانت مشكلتك تبدو مثل (أ3 + ب3) أو (أ3 - ب3)، إنه ليس مكعب ذات الحدين. إنه مجموع المكعبات (في الحالة الأولى) أو فرق المكعبات (في الحالة الثانية) ، وفي هذه الحالة تقوم بتطبيق إحدى الصيغ التالية:
(أ3 + ب3) = (أ + ب) (أ2 - أب + ب2)
(أ3 - ب3) = (أ - ب) (أ2 + أب + ب2)