في الحياة اليومية ، يستخدم معظم الناس المصطلحاتسرعةو● السرعةبالتبادل ، لكن بالنسبة للفيزيائيين ، فإنهم أمثلة لنوعين مختلفين جدًا من الكمية.
تتعامل مشاكل الميكانيكا مع حركة الأجسام ، وبينما يمكنك فقط وصف الحركة من حيث السرعة ، غالبًا ما يكون الاتجاه المحدد الذي يسير فيه شيء ما مهمًا للغاية.
وبالمثل ، يمكن أن تأتي القوى المطبقة على الأشياء من عدة اتجاهات مختلفة - فكر في قوى الجذب المتعارضة في شد الحبل ، على سبيل المثال - لذا يحتاج الفيزيائيون الذين يصفون مواقف كهذه إلى استخدام كميات تصف كلاً من "حجم" أشياء مثل القوى والاتجاه الذي يمثل. تسمى هذه الكمياتثلاثة أبعاد.
TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم أقرأ)
للمتجه مقدار واتجاه محدد ، لكن الكمية العددية لها مقدار فقط.
ناقلات مقابل. الندوب
الفرق الرئيسي بين المتجهات والكميات هو أن حجم المتجه لا يصفه بالكامل ؛ يجب أن يكون هناك أيضًا اتجاه محدد.
يمكن تحديد اتجاه المتجه بعدة طرق ، سواء من خلال الإشارات الموجبة أو السلبية أمامه ، والتعبير عنه في شكل مكونات (القيم العددية بجوار المناسبأنا, يوك"متجه الوحدة" ، والذي يتوافق مع الإحداثيات الديكارتية لـx, ذوض، على التوالي) ، إضافة زاوية فيما يتعلق بالاتجاه المحدد (على سبيل المثال ، "60 درجة من
x-محور ") أو ببساطة إضافة بعض الكلمات لوصف الاتجاه (على سبيل المثال ،" شمال غرب ").على النقيض من ذلك ، فإن الحجم القياسي هو مجرد حجم المتجه دون أي تدوين أو معلومات إضافية مقدمة - على سبيل المثال ، السرعة هي مكافئ عددي لمتجه السرعة. من منظور رياضي ، إنها القيمة المطلقة للمتجه.
ومع ذلك ، فإن العديد من الكميات ، مثل الطاقة والضغط والطول والكتلة والقوة ودرجة الحرارة هي أمثلة على الحجميات التي لا تمثل فقط حجم المتجه المقابل. لا تحتاج إلى معرفة "اتجاه" الكتلة ، على سبيل المثال ، للحصول على صورة كاملة عنها باعتبارها خاصية مادية.
هناك بعض الحقائق غير البديهية التي يمكنك فهمها عندما تعرف الفرق بين العدد والمتجه ، مثل فكرة أن شيئًا ما يمكن أن يكون له سرعة ثابتة ولكن يتغير باستمرار ● السرعة. تخيل سيارة تسير بسرعة ثابتة تبلغ 10 كم / ساعة ولكن في دائرة. نظرًا لأن اتجاه المتجه جزء من تعريفه ، يكون متجه سرعة السيارة دائمًا يتغير في هذا المثال ، على الرغم من حقيقة أن حجم المتجه (أي سرعته) هو ثابت.
أمثلة على كميات المتجهات
هناك العديد من الأمثلة على المتجهات في الفيزياء ، ولكن بعض الأمثلة الأكثر شهرة هي القوة ، والزخم ، والتسارع ، والسرعة ، وكلها تظهر بقوة في الفيزياء الكلاسيكية. يمكن عرض متجه السرعة على أنه 25 م / ث إلى الشرق ، 8 كم / س فيذ-اتجاه،الخامس= 5 م / ثأنا+ 10 م / ثي، أو 10 م / ث في اتجاه 50 درجة منx-محور.
متجهات الزخم هي مثال آخر يمكنك استخدامه لمعرفة كيفية عرض حجم واتجاه المتجه في الفيزياء. تعمل هذه تمامًا مثل أمثلة متجه السرعة ، مع 50 كجم م / ث في الغرب ، −12 كم / س فيضاتجاه،ص= 12 كجم م / ثأنا- 10 كجم م / ثي- 15 كجم م / ثكو 100 كجم م / ث 30 درجة منx-المحور أمثلة على كيفية عرضها. تستخدم نفس النقاط الأساسية لعرض متجهات التسارع ، والفرق الوحيد هو وحدة م / ث2 والرمز الشائع الاستخدام للناقل ،أ.
القوة هي آخر أمثلة التعبيرات المتجهة ، وعلى الرغم من وجود العديد من أوجه التشابه ، باستخدام الإحداثيات الأسطوانية (ص, θ, ض) بدلاً من الإحداثيات الديكارتية يمكن أن تساعد في إظهار طرق أخرى يمكن عرضها بها. على سبيل المثال ، يمكنك كتابة القوة كـF= 10 نيوتنص+ 35 شمال𝛉، للقوة ذات المكونات في الاتجاه الشعاعي والاتجاه السمتي ، أو وصف قوة الجاذبية على جسم وزنه 1 كجم على الأرض على أنها 10 نيوتن في -صالاتجاه (أي باتجاه مركز الكوكب).
تدوين المتجهات في الرسوم البيانية
في الرسوم البيانية ، يتم عرض المتجهات باستخدام الأسهم ، مع تمثيل حجم المتجه بطول السهم واتجاهه بالاتجاه الذي يشير إليه السهم. على سبيل المثال ، يُظهر سهم أكبر أن القوة أكبر (أي نيوتن أكثر أو مقدار أكبر) من قوة أخرى.
بالنسبة للمتجه الذي يُظهر الحركة ، مثل الزخم أو متجه السرعة ، فإنناقل صفر(على سبيل المثال ، متجه لا يمثل سرعة أو زخمًا) يتم عرضه باستخدام نقطة واحدة.
تجدر الإشارة إلى أنه نظرًا لأن طول السهم يمثل حجم المتجه ويمثل اتجاهه اتجاه المتجه. من المفيد أن تحاول أن تكون دقيقًا بشكل معقول عند إنشاء مخطط متجه. ليس من الضروري أن تكون مثالية ، ولكن إذا كانت متجهةأهو ضعف حجم المتجهب، يجب أن يكون طول السهم ضعف طوله تقريبًا.
ناقل الجمع والطرح
إضافة المتجه والطرح المتجه أكثر تعقيدًا قليلاً من إضافة وطرح الحجميات ، ولكن يمكنك التقاط المفاهيم بسهولة. هناك طريقتان رئيسيتان يمكنك استخدامهما ، ولكل منهما استخدامات محتملة بناءً على المشكلة المحددة التي تعالجها.
الأول ، وهو أسهل استخدامًا عندما تحصل على متجهين في شكل مكون ، هو ببساطة إضافة مكونات مطابقة بنفس الطريقة التي تضيف بها مقاييس عادية. على سبيل المثال ، إذا كنت بحاجة إلى إضافة القوتينF1 = 5 نيوتنأنا+ 10 شماليوF2 = 6 نيوتنأنا+ 15 شمالي+ 10 شمالك، يمكنك إضافةأناالمكونات ، ثم ملفيالمكونات وأخيرًاكالمكونات على النحو التالي:
\ start {align} \ bm {F} _1 + \ bm {F} _2 & = (5 \؛ \ text {N} \؛ \ bold {i} + 10 \؛ \ text {N} \؛ \ bold { j}) + (6 \؛ \ text {N} \؛ \ bold {i} + 15 \؛ \ text {N} \؛ \ bold {j} + 10 \؛ \ text {N} \؛ \ bold { ك}) \\ & = (5 \ ؛ \ نص {N} + 6 \؛ \ text {N}) \ bold {i} + (10 \؛ \ text {N} + 15 \؛ \ text {N}) \ bold {j} + (0 \؛ \ text {N} + 10 \؛ \ text {N}) \ bold {k} \\ & = 11 \؛ \ text {N} \؛ \ bold {i} + 25 \؛ \ text {N} \؛ \ bold {j} + 10 \؛ \ text {N} \؛ \ bold {k} \ نهاية {محاذاة}
يعمل الطرح المتجه بالطريقة نفسها تمامًا ، باستثناء طرح الكميات بدلاً من جمعها. إضافة المتجه هي أيضًا تبادلية ، مثل الجمع العادي مع الأرقام الحقيقية ، لذلكأ + ب = ب + أ.
يمكنك أيضًا إجراء إضافة متجه باستخدام مخططات الأسهم عن طريق وضع أسهم متجهية من الرأس إلى الذيل ثم رسم سهم متجه جديد لمجموع المتجهات التي تربط ذيل السهم الأول برأس ثانيا.
إذا كان لديك إضافة متجه بسيطة مع واحد فيx-الاتجاه وآخر فيذ-الاتجاه ، الرسم البياني يشكل مثلث قائم الزاوية. يمكنك إكمال إضافة المتجه وتحديد حجم المتجه الناتج واتجاهه عن طريق "حل" المثلث باستخدام حساب المثلثات ونظرية فيثاغورس.
المنتج النقطي والحاصل الضريبي
يعد ضرب المتجهات أكثر تعقيدًا قليلاً من الضرب القياسي للأرقام الحقيقية ، لكن الشكلين الرئيسيين للضرب هما حاصل الضرب النقطي والحاصل الضرب التبادلي. يُطلق على المنتج النقطي اسم المنتج القياسي ويتم تعريفه على النحو التالي:
\ bm {u} \؛ ∙ \؛ \ bm {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3
أو
\ bm {u} \؛ ∙ \؛ \ bm {v} = \ lvert \ bm {u} \ rvert \ lvert \ bm {v} \ r تحويل \ نص {cos} (θ)
أينθهي الزاوية بين المتجهين ، وتمثل الرموز 1 و 2 و 3 المكون الأول والثاني والثالث من المتجه. نتيجة حاصل الضرب النقطي هي عددية.
يتم تعريف المنتج المتقاطع على أنه:
\ bm {a} \؛ \ bold {×} \؛ \ bm {b} = (a_2b_3 - a_3b_2، a_3b_1 - a_1b_3، a_1b_2 - a_2b_1)
مع الفواصل التي تفصل بين مكونات النتيجة في اتجاهات مختلفة.