ثابت الربيع (قانون هوك): ما هو وكيف يتم حسابه (مع الوحدات والصيغة)

عندما تضغط أو تمد الزنبرك - أو أي مادة مرنة - ستعرف غريزيًا ما الذي سيحدث يحدث عندما تطلق القوة التي تطبقها: سيعود الزنبرك أو المادة إلى حالتها الأصلية الطول.

يبدو الأمر كما لو أن هناك قوة "استعادة" في الربيع تضمن عودتها إلى حالتها الطبيعية وغير المضغوطة وغير الممتدة بعد تحرير الضغط الذي تمارسه على المادة. هذا الفهم الحدسي - أن المادة المرنة تعود إلى موضع توازنها بعد إزالة أي قوة مطبقة - يتم قياسها بشكل أكثر دقة من خلالقانون هوك​.

سُمي قانون هوك على اسم منشئه ، الفيزيائي البريطاني روبرت هوك ، الذي ذكر عام 1678 أن "الامتداد يتناسب مع فرض." يصف القانون بشكل أساسي علاقة خطية بين امتداد الزنبرك وقوة الاستعادة التي ينشأ عنها في ربيع؛ بمعنى آخر ، يتطلب الأمر ضعف القوة لتمتد أو ضغط الزنبرك مرتين.

القانون ، في حين أنه مفيد جدًا في العديد من المواد المرنة ، والتي تسمى "المرونة الخطية" أو "المواد الخطافية" ، إلا أنها لا تنطبق علىكلالوضع وتقنيًا تقريبيًا.

ومع ذلك ، مثل العديد من التقديرات التقريبية في الفيزياء ، فإن قانون هوك مفيد في الينابيع المثالية والعديد من المواد المرنة حتى "حد التناسب". الالثابت الرئيسي للتناسب في القانون هو ثابت الربيع

يعتبر ثابت الزنبرك جزءًا أساسيًا من قانون هوك ، لذا لفهم الثابت ، عليك أولاً معرفة قانون هوك وما يقوله. الخبر السار أنه قانون بسيط ، يصف علاقة خطية ويكون له شكل معادلة خط مستقيم أساسية. صيغة قانون هوك تتعلق على وجه التحديد بالتغيير في تمديد الربيع ،x، لقوة الاستعادة ،F، تم إنشاؤه فيه:

المصطلح الإضافي ،كهو ثابت الربيع. تعتمد قيمة هذا الثابت على صفات الزنبرك المحدد ، ويمكن اشتقاق هذا مباشرة من خصائص الزنبرك إذا لزم الأمر. ومع ذلك ، في كثير من الحالات - خاصة في فصول الفيزياء التمهيدية - ستحصل ببساطة على قيمة لثابت الربيع حتى تتمكن من المضي قدمًا وحل المشكلة المطروحة. من الممكن أيضًا حساب ثابت الزنبرك مباشرةً باستخدام قانون هوك ، بشرط أن تعرف امتداد القوة وحجمها.

يتم تغليف "حجم" العلاقة بين الامتداد وقوة الاستعادة للزنبرك بقيمة ثابت الزنبرك ،ك. يوضح ثابت الزنبرك مقدار القوة اللازمة لضغط أو تمديد زنبرك (أو قطعة من مادة مرنة) بمسافة معينة. إذا فكرت في ما يعنيه هذا من حيث الوحدات ، أو فحصت صيغة قانون هوك ، يمكنك أن ترى أن ثابت الزنبرك يحتوي على وحدات قوة على المسافة ، لذلك في وحدات النظام الدولي للوحدات ، نيوتن / متر.

تتوافق قيمة ثابت الزنبرك مع خصائص الزنبرك المحدد (أو أي نوع آخر من الأجسام المرنة) قيد الدراسة. يعني ثابت الزنبرك الأعلى أن زنبركًا أكثر صلابة يصعب تمدده (بسبب إزاحة معينة ،x، القوة الناتجةFستكون أعلى) ، في حين أن الزنبرك الخفيف الذي يسهل تمدده سيكون له ثابت زنبركي أقل. باختصار ، ثابت الربيع يميز الخصائص المرنة للربيع المعني.

تعتبر الطاقة الكامنة المرنة مفهومًا مهمًا آخر يتعلق بقانون هوك ، وهي تميز الطاقة المخزنة في الربيع عندما يتم تمديدها أو ضغطها مما يسمح لها بنقل قوة الاستعادة عند التحرير النهاية. يؤدي ضغط أو إطالة الزنبرك إلى تحويل الطاقة التي تنقلها إلى إمكانات مرنة ، وعندما تقوم بذلك حررها ، يتم تحويل الطاقة إلى طاقة حركية مع عودة الربيع إلى موضع توازنه.

ستلاحظ بلا شك علامة الطرح في قانون هوك. كما هو الحال دائمًا ، يكون اختيار الاتجاه "الإيجابي" دائمًا عشوائيًا في النهاية (يمكنك تعيين المحاور للتشغيل في أي اتجاه تريده مثل ، والفيزياء تعمل بنفس الطريقة تمامًا) ، ولكن في هذه الحالة ، فإن الإشارة السالبة هي تذكير بأن القوة هي استعادة فرض. تعني "استعادة القوة" أن عمل القوة هو إعادة الزنبرك إلى موضع توازنه.

إذا استدعت موضع التوازن لنهاية الربيع (أي ، موقعه "الطبيعي" بدون أي قوى مطبقة)x= 0 ، ثم تمديد الربيع سيؤدي إلى إيجابيةx، وستعمل القوة في الاتجاه السلبي (أي العودة نحوx= 0). من ناحية أخرى ، يتوافق الضغط مع قيمة سالبة لـx، ثم تعمل القوة في الاتجاه الإيجابي ، مرة أخرى نحوx= 0. بغض النظر عن اتجاه إزاحة الزنبرك ، تصف الإشارة السالبة القوة التي تحركه للخلف في الاتجاه المعاكس.

بالطبع ، الربيع لا يجب أن يتحرك فيxالاتجاه (يمكنك أيضًا كتابة قانون هوك باستخدامذأوضفي مكانه) ، ولكن في معظم الحالات ، تكون المشاكل المتعلقة بالقانون في بُعد واحد ، وهذا ما يسمىxللراحة.

يُعد مفهوم الطاقة الكامنة المرنة ، الذي تم تقديمه جنبًا إلى جنب مع ثابت الربيع في وقت سابق من المقالة ، مفيدًا جدًا إذا كنت تريد تعلم كيفية الحسابكباستخدام بيانات أخرى. معادلة الطاقة الكامنة المرنة تتعلق بالإزاحة ،xوثابت الربيع ،ك، لإمكانية المرونةPE​_el، وهي تأخذ نفس الشكل الأساسي لمعادلة الطاقة الحركية:

كشكل من أشكال الطاقة ، فإن وحدات الطاقة الكامنة المرنة هي الجول (J).

الطاقة الكامنة المرنة تساوي العمل المنجز (تجاهل الخسائر في الحرارة أو الهدر الآخر) ، ويمكنك ذلك احسبه بسهولة بناءً على المسافة التي امتد فيها الربيع إذا كنت تعرف ثابت الزنبرك لـ ربيع. وبالمثل ، يمكنك إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد ثابت الربيع إذا كنت تعرف العمل المنجز (منذ ذلك الحيندبليو​ = ​PE​_el) في شد الربيع ومقدار تمدد الربيع.

هناك طريقتان بسيطتان يمكنك استخدامهما لحساب ثابت الزنبرك ، باستخدام إما قانون هوك ، جنبًا إلى جنب مع بعض البيانات حول قوة الاستعادة (أو المطبقة) وقوة إزاحة الزنبرك من موضع توازنه ، أو باستخدام معادلة الطاقة الكامنة المرنة جنبًا إلى جنب مع الأشكال للعمل المنجز في تمديد الزنبرك وإزاحة ربيع.

يعد استخدام قانون هوك هو أبسط طريقة لإيجاد قيمة ثابت الزنبرك ، ويمكنك ذلك أيضًا احصل على البيانات بنفسك من خلال إعداد بسيط حيث تقوم بتعليق كتلة معروفة (بقوة وزنها معطى بواسطةF​ = ​ملغ) من الربيع وتسجيل امتداد الربيع. تجاهل علامة الطرح في قانون هوك (حيث لا يهم الاتجاه لحساب قيمة ثابت الزنبرك) والقسمة على الإزاحة ،xيعطي:

يعد استخدام صيغة الطاقة الكامنة المرنة عملية مباشرة بالمثل ، ولكنها لا تصلح أيضًا لتجربة بسيطة. ومع ذلك ، إذا كنت تعرف الطاقة الكامنة المرنة والإزاحة ، فيمكنك حسابها باستخدام:

على أي حال ، ستحصل على قيمة بوحدات N / m.

يمتد زنبرك يضاف إليه وزن 6 نيوتن بمقدار 30 سم بالنسبة إلى موضع توازنه. ما هو ثابت في الربيعكلفصل الربيع؟

إن معالجة هذه المشكلة أمر سهل بشرط أن تفكر في المعلومات التي حصلت عليها وتحول الإزاحة إلى أمتار قبل الحساب. الوزن 6 نيوتن هو رقم بالنيوتن ، لذا يجب أن تعرف فورًا أنه قوة ، والمسافة التي يمتدها الزنبرك عن موضع توازنه هي الإزاحة ،x. لذا فإن السؤال يخبرك بذلكF= 6 N وx= 0.3 م ، مما يعني أنه يمكنك حساب ثابت الربيع كما يلي:

على سبيل المثال ، تخيل أنك تعرف أن 50 جول من الطاقة الكامنة المرنة محفوظة في زنبرك تم ضغطه بمقدار 0.5 متر من موضع توازنه. ما هو ثابت الربيع في هذه الحالة؟ مرة أخرى ، يتمثل النهج في تحديد المعلومات التي لديك وإدخال القيم في المعادلة. هنا ، يمكنك أن ترى ذلكPE​_el = 50 جول وx= 0.5 م. لذا فإن معادلة الطاقة الكامنة المرنة المعاد ترتيبها تعطي:

تحتوي السيارة التي يبلغ وزنها 1800 كجم على نظام تعليق لا يمكن السماح له بتجاوز 0.1 متر من الضغط. ما هو ثابت الربيع الذي يحتاجه التعليق؟

قد تبدو هذه المشكلة مختلفة عن الأمثلة السابقة ، ولكن في النهاية عملية حساب ثابت الربيع ،ك، هو بالضبط نفس الشيء. الخطوة الإضافية الوحيدة هي ترجمة كتلة السيارة إلىوزن(أي القوة الناتجة عن الجاذبية التي تؤثر على الكتلة) على كل عجلة. أنت تعلم أن القوة الناتجة عن وزن السيارة مُعطاةF​ = ​ملغ، أينز= 9.81 م / ث²، التسارع الناتج عن الجاذبية الأرضية ، لذا يمكنك تعديل صيغة قانون هوك على النحو التالي:

ومع ذلك ، فإن ربع الكتلة الإجمالية للسيارة فقط يستريح على أي عجلة ، وبالتالي فإن الكتلة لكل زنبرك تساوي 1800 كجم / 4 = 450 كجم.

الآن عليك ببساطة إدخال القيم المعروفة وحلها للعثور على قوة الينابيع المطلوبة ، مع ملاحظة أن الحد الأقصى للضغط ، 0.1 متر هو قيمةxستحتاج إلى استخدام:

يمكن التعبير عن هذا أيضًا بـ 44.145 kN / m ، حيث kN تعني "kilonewton" أو "آلاف النيوتن".

من المهم التأكيد مرة أخرى على أن قانون هوك لا ينطبق عليهكللاستخدامه بشكل فعال ، ستحتاج إلى تذكر قيود القانون. ثابت الربيعك، هو انحدار الخط المستقيمجزءمن الرسم البياني لFضد.x; بمعنى آخر ، القوة المطبقة مقابل. الإزاحة من وضع التوازن.

ومع ذلك ، بعد "حد التناسب" للمادة المعنية ، لم تعد العلاقة خطًا مستقيمًا ، ويتوقف تطبيق قانون هوك. وبالمثل ، عندما تصل مادة ما إلى "الحد المرن" لها ، فإنها لن تستجيب مثل الزنبرك ، وبدلاً من ذلك ستتشوه بشكل دائم.

أخيرًا ، يفترض قانون هوك "الربيع المثالي". جزء من هذا التعريف هو أن استجابة الربيع خطية ، ولكن من المفترض أيضًا أن تكون عديمة الكتلة والاحتكاك.

هذان التقييدان الأخيران غير واقعيين تمامًا ، لكنهما يساعدان في تجنب المضاعفات الناتجة عن تأثير قوة الجاذبية على الزنبرك نفسه وفقدان الطاقة بسبب الاحتكاك. هذا يعني أن قانون هوك سيكون دائمًا تقريبيًا وليس دقيقًا - حتى ضمن حدود التناسب - لكن الانحرافات عادةً لا تسبب مشكلة إلا إذا كنت بحاجة إلى إجابات دقيقة للغاية.