يعرف معظم الناس عن الحفاظ على الطاقة. باختصار ، تقول أن الطاقة محفوظة ؛ لم يتم إنشاؤه ولم يتم إتلافه ، ويتغير ببساطة من شكل إلى آخر.
إذن ، إذا حملت كرة ثابتة تمامًا ، على ارتفاع مترين فوق الأرض ، ثم حررتها ، فمن أين تأتي الطاقة التي تكتسبها؟ كيف يمكن لشيء ما أن يكتسب الكثير من الطاقة الحركية قبل أن يصطدم بالأرض؟
الإجابة هي أن الكرة الساكنة تمتلك نوعًا من الطاقة المخزنة يسمىطاقة الجاذبية الكامنة، أو GPE للاختصار. هذا هو أحد أهم أشكال الطاقة المخزنة التي سيواجهها طالب المدرسة الثانوية في الفيزياء.
GPE هو شكل من أشكال الطاقة الميكانيكية التي يسببها ارتفاع الجسم فوق سطح الأرض (أو في الواقع ، أي مصدر آخر لحقل الجاذبية). أي جسم ليس عند أدنى نقطة طاقة في مثل هذا النظام لديه بعض طاقة الجاذبية الكامنة ، وإذا إذا تم إطلاقه (أي أنه يُسمح له بالسقوط بحرية) ، فسوف يتسارع باتجاه مركز مجال الجاذبية حتى حدوث شيء ما يوقفها.
على الرغم من أن عملية إيجاد طاقة الجاذبية الكامنة لجسم ما هي تماما من الناحية الرياضية ، يكون المفهوم مفيدًا للغاية عندما يتعلق الأمر بالحساب كميات أخرى. على سبيل المثال ، فإن التعرف على مفهوم GPE يجعل من السهل حقًا حساب الطاقة الحركية والسرعة النهائية لجسم ساقط.
تعريف طاقة الجاذبية الكامنة
يعتمد GPE على عاملين رئيسيين: موضع الجسم بالنسبة إلى مجال الجاذبية وكتلة الجسم. مركز كتلة الجسم الذي يخلق مجال الجاذبية (على الأرض ، مركز الكوكب) هو أقل نقطة طاقة في هذا المجال (على الرغم من أن سيتوقف الجسم الفعلي عن السقوط قبل هذه النقطة ، كما يفعل سطح الأرض) ، وكلما كان الجسم بعيدًا عن هذه النقطة ، زادت الطاقة المخزنة لديه بسبب وضع. تزداد كمية الطاقة المخزنة أيضًا إذا كان الجسم أكبر حجمًا.
يمكنك فهم التعريف الأساسي للطاقة الكامنة للجاذبية إذا كنت تفكر في كتاب يرتكز على رف الكتب. الكتاب لديه القدرة على السقوط على الأرض بسبب موقعه المرتفع بالنسبة إلى الأرض ، لكنه يبدأ لا يمكن أن يسقط على الأرض ، لأنه موجود بالفعل على السطح: الكتاب الموجود على الرف يحتوي على GPE ، ولكن الكتاب الموجود على الأرض لا.
سيخبرك الحدس أيضًا أن الكتاب الذي يبلغ سمكه ضعف سمكه سيحدث ضعف صوت جلجل عندما يصطدم بالأرض ؛ هذا لأن كتلة الجسم تتناسب طرديًا مع كمية طاقة الجاذبية الكامنة للجسم.
صيغة GPE
معادلة طاقة الجاذبية الكامنة (GPE) بسيطة حقًا ، وتتعلق بالكتلةم، التسارع الناتج عن الجاذبية الأرضيةز) والارتفاع فوق سطح الأرضحللطاقة المخزنة بسبب الجاذبية:
GPE = mgh
كما هو شائع في الفيزياء ، هناك العديد من الرموز المختلفة المحتملة لطاقة الجاذبية الكامنة ، بما في ذلكيوز, PEجراف و اخرين. GPE هو مقياس للطاقة ، وبالتالي فإن نتيجة هذا الحساب ستكون قيمة بالجول (J).
التسارع الناتج عن جاذبية الأرض له قيمة ثابتة (تقريبًا) في أي مكان على السطح ويشير مباشرةً إلى مركز كتلة الكوكب: g = 9.81 m / s2. بالنظر إلى هذه القيمة الثابتة ، فإن الأشياء الوحيدة التي تحتاجها لحساب GPE هي كتلة الجسم وارتفاع الجسم فوق السطح.
أمثلة على حساب GPE
إذن ماذا تفعل إذا احتجت إلى حساب مقدار طاقة الجاذبية الكامنة التي يمتلكها الجسم؟ في الجوهر ، يمكنك ببساطة تحديد ارتفاع الكائن بناءً على نقطة مرجعية بسيطة (تعمل الأرض عادةً بشكل جيد) ومضاعفة ذلك في كتلتهموثابت الجاذبية الأرضيةزللعثور على GPE.
على سبيل المثال ، تخيل كتلة 10 كجم معلقة على ارتفاع 5 أمتار فوق الأرض بواسطة نظام بكرة. ما مقدار طاقة الجاذبية الكامنة التي تمتلكها؟
باستخدام المعادلة واستبدال القيم المعروفة يعطي:
\ start {align} GPE & = mgh \\ & = 10 \؛ \ text {kg} × 9.81 \؛ \ text {m / s} ^ 2 × 5 \؛ \ text {m} \\ & = 490.5 \؛ \؛ نص {J} \ نهاية {محاذاة}
ومع ذلك ، إذا كنت تفكر في المفهوم أثناء قراءة هذا المقال ، فربما تكون قد فكرت في سؤال مثير للاهتمام: إذا كانت قوة الجاذبية طاقة جسم ما على الأرض تساوي صفرًا حقًا فقط إذا كانت في مركز الكتلة (أي داخل قلب الأرض) ، فلماذا تحسبها كما لو كان سطح الأرضح = 0?
الحقيقة هي أن اختيار نقطة "الصفر" للارتفاع أمر عشوائي ، وعادة ما يتم ذلك لتبسيط المشكلة المطروحة. كلما قمت بحساب GPE ، فأنت في الحقيقة أكثر قلقًا بشأن طاقة الجاذبية الكامنةالتغييراتبدلا من أي نوع من القياس المطلق للطاقة المخزنة.
في الأساس ، لا يهم إذا قررت استدعاء منضدةح= 0 بدلاً من سطح الأرض لأنك دائمًافعلاالحديث عن التغيرات في الطاقة الكامنة المتعلقة بالتغيرات في الارتفاع.
فكر إذن في قيام شخص ما برفع كتاب فيزياء يبلغ وزنه 1.5 كجم من سطح مكتب ، ورفعه بمقدار 50 سم (أي 0.5 متر) فوق السطح. ما هو تغير طاقة الجاذبية الكامنة (المشار إليها ∆GPE) للكتاب كما هو مرفوع؟
الحيلة ، بالطبع ، هي تسمية الجدول بالنقطة المرجعية ، بارتفاعح= 0 ، أو ما يعادله ، للنظر في التغيير في الارتفاع (∆ح) من الموضع الأولي. في كلتا الحالتين ، تحصل على:
\ تبدأ {محاذاة} ∆GPE & = mg∆h \\ & = 1.5 \؛ \ text {kg} × 9.81 \؛ \ text {m / s} ^ 2 × 0.5 \؛ \ text {m} \\ & = 7.36 \؛ \ text {J} \ end {align}
وضع حرف "G" في GPE
القيمة الدقيقة لتسارع الجاذبيةزفي معادلة GPE له تأثير كبير على طاقة الجاذبية الكامنة لجسم مرفوع مسافة معينة فوق مصدر مجال الجاذبية. على سطح المريخ ، على سبيل المثال ، قيمةزأصغر بحوالي ثلاث مرات مما هو عليه على سطح الأرض ، لذلك إذا رفعت نفس الجسم بنفس الشيء بعد المسافة من سطح المريخ ، سيكون لديها طاقة مخزنة أقل بثلاث مرات مما ستكون عليه أرض.
وبالمثل ، على الرغم من أنه يمكنك تقريب قيمةزمثل 9.81 م / ث2 عبر سطح الأرض عند مستوى سطح البحر ، تكون في الواقع أصغر إذا ابتعدت مسافة كبيرة عن السطح. على سبيل المثال ، إذا كنت على جبل. جبل إيفرست ، الذي يرتفع 8848 م (8.848 كم) فوق سطح الأرض ، ووجوده بعيدًا جدًا عن مركز كتلة الكوكب سيقلل من قيمةزقليلا ، لذلك كنت ستفعلز= 9.79 م / ث2 الذروة.
إذا كنت قد تسلقت الجبل بنجاح ورفعت كتلة 2 كجم 2 م من قمة الجبل في الهواء ، فماذا سيكون التغيير في GPE؟
مثل حساب GPE على كوكب آخر بقيمة مختلفةز، يمكنك ببساطة إدخال قيمةزيناسب الموقف ويخضع لنفس العملية على النحو الوارد أعلاه:
\ ابدأ {محاذاة} ∆GPE & = mg∆h \\ & = 2 \؛ \ text {kg} × 9.79 \؛ \ text {m / s} ^ 2 × 2 \؛ \ text {m} \\ & = 39.16 \؛ \ text {J} \ end {align}
على مستوى سطح البحر على الأرض ، معز= 9.81 م / ث2، فإن رفع نفس الكتلة سيغير GPE من خلال:
\ ابدأ {محاذاة} ∆GPE & = mg∆h \\ & = 2 \؛ \ text {kg} × 9.81 \؛ \ text {m / s} ^ 2 × 2 \؛ \ text {m} \\ & = 39.24 \؛ \ text {J} \ end {align}
هذا ليس فرقًا كبيرًا ، لكنه يُظهر بوضوح أن الارتفاع يؤثر على التغيير في GPE عندما تقوم بنفس حركة الرفع. وعلى سطح المريخ أينز= 3.75 م / ث2 سيكون:
\ ابدأ {محاذاة} ∆GPE & = mg∆h \\ & = 2 \؛ \ text {kg} × 3.75 \؛ \ text {m / s} ^ 2 × 2 \؛ \ text {m} \\ & = 15 \ ؛ \ نص {ي} \ نهاية {محاذاة}
كما ترى ، فإن قيمةزمهم جدا للنتيجة التي تحصل عليها. بأداء نفس حركة الرفع في الفضاء السحيق ، بعيدًا عن أي تأثير لقوة الجاذبية ، لن يكون هناك أي تغيير جوهري في طاقة وضع الجاذبية.
إيجاد الطاقة الحركية باستخدام GPE
يمكن استخدام حفظ الطاقة جنبًا إلى جنب مع مفهوم GPE للتبسيطعديدةالحسابات في الفيزياء. باختصار ، تحت تأثير القوة "المحافظة" ، يتم الحفاظ على الطاقة الكلية (بما في ذلك الطاقة الحركية ، طاقة الجاذبية الكامنة وجميع أشكال الطاقة الأخرى).
القوة المحافظة هي القوة التي لا يعتمد فيها مقدار الشغل المبذول ضد القوة لتحريك جسم ما بين نقطتين على المسار المتخذ. لذا فإن الجاذبية متحفظة لأن رفع جسم من نقطة مرجعية إلى ارتفاعحيغير طاقة الجاذبية الكامنة بواسطةmgh، ولكنه لا يحدث فرقًا سواء قمت بتحريكه في مسار على شكل حرف S أو في خط مستقيم - فهو دائمًا ما يتغير فقط من خلالmgh.
تخيل الآن موقفًا تسقط فيه كرة تزن 500 جم (0.5 كجم) من ارتفاع 15 مترًا. تجاهل تأثير مقاومة الهواء وبافتراض عدم دورانها أثناء سقوطها ، ما مقدار الطاقة الحركية التي ستحصل عليها الكرة في اللحظة قبل ملامستها للأرض؟
مفتاح هذه المشكلة هو حقيقة أن الطاقة الكلية محفوظة ، لذا فإن كل الطاقة الحركية تأتي من GPE ، وبالتالي فإن الطاقة الحركيةهك عند الحد الأقصى لقيمته ، يجب أن يساوي GPE بأقصى قيمته ، أوGPE = هك. حتى تتمكن من حل المشكلة بسهولة:
\ start {align} E_k & = GPE \\ & = mgh \\ & = 0.5 \؛ \ text {kg} × 9.81 \؛ \ text {m / s} ^ 2 × 15 \؛ \ text {m} \\ & = 73.58 \؛ \ text {J} \ end {align}
إيجاد السرعة النهائية باستخدام GPE والحفاظ على الطاقة
يبسط الحفاظ على الطاقة العديد من الحسابات الأخرى التي تتضمن طاقة وضع الجاذبية أيضًا. فكر في الكرة من المثال السابق: الآن بعد أن عرفت إجمالي الطاقة الحركية بناءً على جاذبيتها الطاقة الكامنة عند أعلى نقطة لها ، ما السرعة النهائية للكرة في اللحظة التي تسبق وصولها إلى الأرض سطح - المظهر الخارجي؟ يمكنك عمل ذلك بناءً على المعادلة القياسية للطاقة الحركية:
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
بقيمةهك معروف ، يمكنك إعادة ترتيب المعادلة وحلها من أجل السرعةالخامس:
\ start {align} v & = \ sqrt {\ frac {2E_k} {m}} \\ & = \ sqrt {\ frac {2 × 73.575 \؛ \ text {J}} {0.5 \؛ \ text {kg}} } \\ & = 17.16 \؛ \ text {m / s} \ end {align}
ومع ذلك ، يمكنك استخدام الحفاظ على الطاقة لاشتقاق معادلة تنطبق علىأيالكائن الساقط ، من خلال ملاحظة أنه في مواقف مثل هذه ،-GPE = ∆هك، و حينئذ:
mgh = \ frac {1} {2} mv ^ 2
الإلغاءممن الجانبين وإعادة الترتيب يعطي:
gh = \ frac {1} {2} v ^ 2 \\ \ text {لذلك} \ ؛ v = \ sqrt {2gh}
لاحظ أن هذه المعادلة توضح أن تجاهل مقاومة الهواء لا يؤثر على السرعة النهائية للكتلةالخامس، لذلك إذا أسقطت أي جسمين من نفس الارتفاع ، فسوف يصطدمان بالأرض في نفس الوقت بالضبط ويسقطان بنفس السرعة. يمكنك أيضًا التحقق من النتيجة التي تم الحصول عليها باستخدام الطريقة الأبسط المكونة من خطوتين وإظهار أن هذه المعادلة الجديدة تنتج بالفعل نفس النتيجة بالوحدات الصحيحة.
اشتقاق القيم الخارجية لـزباستخدام GPE
أخيرًا ، تعطيك المعادلة السابقة أيضًا طريقة للحسابزعلى الكواكب الأخرى. تخيل أنك أسقطت الكرة التي يبلغ وزنها 0.5 كجم من ارتفاع 10 أمتار فوق سطح المريخ ، وسجلت سرعة نهائية (قبل أن تصل إلى السطح مباشرة) تبلغ 8.66 م / ث. ما هي قيمةزعلى المريخ؟
بدءاً من مرحلة مبكرة في إعادة الترتيب:
gh = \ frac {1} {2} v ^ 2
أنت ترى أن:
\ start {align} g & = \ frac {v ^ 2} {2h} \\ & = \ frac {(8.66 \؛ \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 10 \؛ \ text {m }} \\ & = 3.75 \؛ \ text {m / s} ^ 2 \ end {align}
الحفاظ على الطاقة ، بالاقتران مع معادلات طاقة وضع الجاذبية والطاقة الحركية ، لهعديدةالاستخدامات ، وعندما تعتاد على استغلال العلاقات ، ستتمكن من حل مجموعة كبيرة من مشاكل الفيزياء الكلاسيكية بسهولة.