أالمتجههي كمية لها كل من الحجم والاتجاه المرتبطين بها. هذا مختلف عنالعدديةالكمية التي تتوافق فقط مع المقدار. السرعة هي مثال على كمية متجه. لها مقدار (مدى سرعة شيء ما) واتجاه (الاتجاه الذي يسير فيه).
غالبًا ما يتم رسم المتجهات كسهم. يتوافق طول السهم مع حجم المتجه ، وتشير نقطة السهم إلى الاتجاه.
هناك طريقتان للعمل مع الجمع والطرح المتجه. الأول هو بيانياً ، عن طريق معالجة مخططات الأسهم للمتجهات نفسها. والثاني رياضي ويعطي نتائج دقيقة.
جمع وطرح المتجهات الرسومية في بعد واحد
عند إضافة متجهين ، فإنك تضع ذيل المتجه الثاني على طرف المتجه الأول مع الحفاظ على اتجاه المتجه. الالمتجه الناتجهو متجه يبدأ عند ذيل المتجه الأول ويشير في خط مستقيم إلى طرف المتجه الثاني.
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك إضافة نواقلأوبالتي تشير في نفس الاتجاه على طول الخط. نضعها "طرفًا إلى الذيل" والمتجه الناتج ،ج، يشير في نفس الاتجاه ويبلغ طوله مجموع أطوالأوب.
إن طرح المتجهات في بُعد واحد هو في الأساس نفس عملية الجمع ما عدا أنك "تقلب" المتجه الثاني. ينتج هذا مباشرة من حقيقة أن الطرح هو نفسه إضافة سالب.
الجمع والطرح المتجه الرياضي في بعد واحد
عند العمل في بُعد واحد ، يمكن تحديد اتجاه المتجه بالإشارة. نختار اتجاهًا واحدًا ليكون الاتجاه الإيجابي (عادةً ما يتم اختيار "أعلى" أو "يمين" على أنه موجب) ، ونخصص أي متجه يشير في هذا الاتجاه باعتباره كمية موجبة. أي متجه يشير إلى الاتجاه السلبي هو كمية سالبة. عند إضافة أو طرح المتجهات ، قم بإضافة أو طرح مقاديرها مع إرفاق العلامات المناسبة.
افترض في القسم السابق ، المتجهأكان حجمه 3 والمتجهبكان حجمه 5. ثم المتجه الناتجج = أ + ب =8 ، متجه بحجم 8 يشير إلى الاتجاه الإيجابي ، والمتجه الناتجد = أ - ب =-2 ، متجه بحجم 2 يشير إلى الاتجاه السلبي. لاحظ أن هذا يتوافق مع النتائج الرسومية من قبل.
نصيحة: احرص على إضافة متجهات من نفس النوع فقط: السرعة + السرعة ، القوة + القوة وما إلى ذلك. كما هو الحال مع كل الرياضيات في الفيزياء ، يجب أن تتطابق الوحدات!
جمع وطرح المتجهات الرسومية في بعدين
إذا لم يكن المتجه الأول والمتجه الثاني على نفس الخط في الفضاء الديكارتي ، يمكنك استخدام نفس طريقة "طرف إلى الذيل" لجمعهما أو طرحهما. لإضافة متجهين ، تخيل ببساطة رفع الثاني ووضع ذيله على طرف الأول مع الحفاظ على اتجاهه كما هو موضح. المتجه الناتج هو سهم يبدأ من ذيل المتجه الأول وينتهي عند طرف المتجه الثاني:
كما هو الحال في أحد الأبعاد ، فإن طرح متجه من آخر يعادل التقليب والجمع. من الناحية التخطيطية ، يبدو هذا كما يلي:
•••دانا تشين | علم
ملاحظة: في بعض الأحيان يتم عرض إضافة المتجه بشكل بياني عن طريق وضع ذيول متجهي الإضافة معًا وإنشاء متوازي أضلاع. المتجه الناتج هو قطري متوازي الأضلاع هذا.
الجمع والطرح المتجه الرياضي في بعدين
لجمع وطرح متجهات في بعدين رياضيًا ، اتبع الخطوات التالية:
حلل كل متجه إلى ملفx-مكوِّن ، ويطلق عليه أحيانًا اسم المكون الأفقي ، وأذ-مكوِّن ، يُطلق عليه أحيانًا اسم المكون الرأسي ، باستخدام حساب المثلثات. (لاحظ أن المكونات قد تكون سالبة أو موجبة حسب الاتجاه الذي يشير إليه المتجه)
أضف الx-مكونات كلا المتجهين معًا ، ثم قم بإضافةذ- مكونات كلا النواقل معًا. تمنحك هذه النتيجةxوذمكونات المتجه الناتج.
يمكن إيجاد حجم المتجه الناتج باستخدام نظرية فيثاغورس.
يمكن إيجاد اتجاه المتجه الناتج عن طريق حساب المثلثات باستخدام دالة الظل العكسي. عادة ما يتم إعطاء هذا الاتجاه كزاوية بالنسبة للإيجابيx-محور.
علم المثلثات في إضافة المتجهات
تذكر العلاقات بين أضلاع وزوايا المثلث القائم الزاوية من حساب المثلثات.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ text {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ text {} \\ \ tan (\ ثيتا) = \ فارك {ب} {أ}
نظرية فيثاغورس:
ج ^ 2 = أ ^ 2 + ب ^ 2
تقدم حركة المقذوف أمثلة كلاسيكية لكيفية استخدام هذه العلاقات لتحليل المتجه وتحديد الحجم والاتجاه النهائيين للمتجه.
ضع في اعتبارك شخصين يلعبان لعبة الصيد. لنفترض أن الكرة قد أُلقيت من ارتفاع 1.3 م بسرعة 16 م / ث بزاوية 50 درجة مع الأفقي. لبدء تحليل هذه المشكلة ، ستحتاج إلى تحليل متجه السرعة الأولي هذا إلىxوذالمكونات كما هو موضح:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ times \ cos (50) = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ times \ sin (50) = 12.3 \ نص {م / ث}
إذا أخطأ الماسك الكرة وارتطمت بالأرض ، فما السرعة النهائية التي ستضربها؟
باستخدام المعادلات الحركية ، يمكننا تحديد أن المكونات النهائية لسرعة الكرة هي:
v_ {xf} = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13.3 \ text {m / s}
تسمح لنا نظرية فيثاغورس بإيجاد المقدار:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ text {m / s}
ويتيح لنا علم المثلثات تحديد الزاوية:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {-13.3} {10.3} \ Big) = - 52.2 \ degree
مثال على الجمع والطرح المتجه
ضع في اعتبارك سيارة تدور حول الزاوية. افترضالخامسأناللسيارة فيس-مع حجم 10 م / ث ، والخامسFبزاوية 45 درجة مع الموجبx- محور بقوة 10 م / ث. إذا حدث هذا التغيير في الحركة في 3 ثوانٍ ، فما مقدار واتجاه تسارع السيارة أثناء دورانها؟
أذكر هذا التسارعأهي كمية متجهة محددة على النحو التالي:
أ = \ فارك {(v_f-v_i)} {t}
أينالخامسFوالخامسأناهي سرعات نهائية وأولية على التوالي (وبالتالي فهي أيضًا كميات متجهة).
من أجل حساب فرق المتجهالخامسF - الخامسأنا,يجب علينا أولاً تحليل متجهات السرعة الأولية والنهائية:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7.07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7.07 \ text {m / s}
ثم نطرح النهائيxوذمكونات من الأوليxوذمكونات للحصول على مكوناتالخامسF - الخامسأنا:
ثم نطرحxوذعناصر:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7.07 \ نص {م / ث}
ثم قسّم كل وقت للحصول على مكونات متجه التسارع:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {m / s} ^ 2
استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد مقدار متجه التسارع:
أ = \ sqrt {(- 0.977) ^ 2 + (2.36) ^ 2} = 2.55 \ نص {م / ث} ^ 2
أخيرًا ، استخدم علم المثلثات لإيجاد اتجاه متجه التسارع:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {2.36} {- 0.977} \ Big) = 113 \ degree