يقارن الفيزيائيون لحظات القصور الذاتي للأشياء الدوارة من أجل تحديد تلك التي سيكون من الصعب تسريعها أو إبطائها. ينطبق هذا على مواقف العالم الحقيقي مثل معرفة الأشياء التي ستتدحرج بشكل أسرع في السباق.
العوامل التي تغير لحظة القصور الذاتي لجسم ما هي كتلته ، وكيفية توزيع هذه الكتلة - التي يتم تحديدها من خلال شكلها ونصف قطرها - ومحور الدوران الذي يدور عليه.
لحظات القصور الذاتي للأشياء المشتركة
يوضح هذا الرسم البياني معادلات لحظة القصور الذاتي للعديد من الأشكال الشائعة التي تدور حول محاور مختلفة للدوران.
مقارنة لحظات القصور الذاتي
فيما يلي بعض الأمثلة على المشكلات الفيزيائية التي تتطلب استخدام لحظات من القصور الذاتي لمقارنة الأشياء المختلفة.
1. أي مما يلي سيكون أسهل لبدء الدوران: كرة مجوفة تزن 7 كجم نصف قطرها 0.2 م أم كرة صلبة تزن 10 كجم لها نفس نصف القطر؟
ابدأ بإيجاد لحظات القصور الذاتي لكل جسم. وفقًا للجدول ، فإن معادلة أكرة مجوفةهو:أنا = 2 / 3mr2، ومعادلة أكرة صلبةهوأنا = 2 / 5mr2.
استبدال الكتل وأنصاف الأقطار المحددة:
كرة مجوفة: أنا = 2/3 (7 كجم) (0.2 م)2 = 0.19 كجم2
صلب جسم كروى: أنا = 2/5 (10 كجم) (0.2 م)2 = 0.16 كجم2
لحظة الجمود هيأصغر بالنسبة للكرة الصلبة، لذلك سيكونأسهل لبدء الغزل.
2. بأي طريقة يصعب تدوير قلم رصاص: حول طوله أم حول مركزه أم من نهايته؟ افترض أن طول القلم الرصاص 10 سم (0.1 م) ونصف قطر المقطع العرضي 3 مم (0.003 م).
في هذه الحالة ، لا تهم كتلة قلم الرصاص في المقارنة لأنها لا تتغير.
لتحديد المعادلات المطبقة ، قرب شكل قلم الرصاص على هيئة أسطوانة.
بعد ذلك ، اللحظات الثلاث الضرورية من معادلات القصور الذاتي هي:
طول الاسطوانة(يمر المحور عبر كل شيء ، من الحافة إلى الممحاة ، وبالتالي فإن نصف القطر إلى محور الدورانهونصف قطرها المقطع العرضي):
أنا = \ frac {1} {2} mr ^ 2 = \ frac {1} {2} م (0.003) ^ 2 = 0.0000045 م
اسطوانة حول مركزها(مثبتة في المنتصف ، لذا فإن نصف قطر دورانها هونصف طوله):
أنا = \ frac {1} {12} mr ^ 2 = \ frac {1} {12} م (0.05) ^ 2 = 0.0002083 م
اسطوانة حول نهايتها(ممسوكة بالطرف أو الممحاة ، بحيث يكون نصف القطر على محور الدورانهوطوله):
أنا = \ frac {1} {3} mr ^ 2 = \ frac {1} {3} م (0.1) ^ 2 = 0.003333 م
كلما زادت لحظة القصور الذاتي للكائن ، زادت صعوبة بدء (أو إيقاف) دورانه.نظرًا لأن كل قيمة يتم ضربها بنفس القيمةم، كلما كانت قيمة الكسر مضروبة في r أكبر2كلما زادت لحظة القصور الذاتي. في هذه الحالة 0.0033333> 0.0002083> 0.0000045 ، فهو كذلكيصعب تدوير قلم رصاص حول نهايتهمن حول المحورين الآخرين.
3. أي جسم سيصل إلى قاع المنحدر أولاً إذا كان لديهم جميعًا نفس الكتلة ونصف القطر وتم إطلاقهم جميعًا من القمة في نفس الوقت: طوق أم أسطوانة أم كرة صلبة؟ تجاهل الاحتكاك.
مفتاح الإجابة على هذه المشكلة هو تطبيق فهمالحفاظ على الطاقة. إذا كانت كل الكائنات لها نفس الكتلة وتبدأ من نفس الارتفاع ، فيجب أن تبدأ بنفس المقدار منطاقة الجاذبية الكامنة. هذا الإجمالي الطاقةلديهم القدرة على التحويل إلى طاقة حركية والانتقال إلى أسفل المنحدر.
نظرًا لأن الكائنات ستتدحرج إلى أسفل المنحدر ، يجب أن تقوم بتحويل طاقتها الكامنة الأولية إلى كليهماالطاقات الحركية الدورانية والخطية.
وهنا تكمن المشكلة: كلما زادت الطاقة من تلك الفطيرة الكلية التي يأخذها الجسم إليهاابدأ بالدوران، قل ما سيكون متاحًا لهحركة خطية. هذا يعنيكلما كان من الأسهل الحصول على جسم يتدحرج ، زادت سرعة تحركه خطيًا أسفل المنحدر ، والفوز بالسباق.
بعد ذلك ، نظرًا لأن جميع الكتل وأنصاف الأقطار متساوية ، فإن مجرد مقارنة الكسور الموجودة أمام كل لحظة من معادلة القصور الذاتي تكشف الإجابة:
كرة صلبة: أنا =2/5السيد2
حلقة حول محور: أنا = السيد2
أسطوانة صلبة حول طولها: أنا =1/2السيد2
من أصغر لحظات القصور الذاتي إلى أكبرها ، وبالتاليأول من وصل إلى القاع: كرة ، اسطوانة ، طوق.