توزيع ماكسويل بولتزمان: الوظيفة والاشتقاق والأمثلة

يعتبر وصف ما يحدث مع الجسيمات الصغيرة جدًا تحديًا في الفيزياء. لا يصعب التعامل مع حجمها فحسب ، ولكن في معظم التطبيقات اليومية ، لا تتعامل مع جسيم واحد ، ولكن يتفاعل عدد لا يحصى من كل منها مع بعضها البعض.

داخل المادة الصلبة ، لا تتحرك الجسيمات متجاوزة بعضها البعض ، ولكنها بدلاً من ذلك عالقة في مكانها إلى حد كبير. يمكن أن تتوسع المواد الصلبة وتتقلص مع تغيرات درجة الحرارة ، ومع ذلك ، في بعض الأحيان تخضع لتغييرات مثيرة للاهتمام في الهياكل البلورية في حالات معينة.

في السوائل ، تكون الجسيمات حرة في تجاوز بعضها البعض. ومع ذلك ، لا يميل العلماء إلى دراسة السوائل من خلال محاولة تتبع ما يفعله كل جزيء على حدة. وبدلاً من ذلك ، فإنهم ينظرون إلى الخصائص الأكبر للكل ، مثل اللزوجة والكثافة والضغط.

كما هو الحال مع السوائل ، فإن الجزيئات الموجودة داخل الغاز تكون حرة أيضًا في تجاوز بعضها البعض. في الواقع ، يمكن أن تخضع الغازات لتغيرات كبيرة في الحجم بسبب الاختلافات في درجة الحرارة والضغط.

مرة أخرى ، ليس من المنطقي دراسة الغاز من خلال تتبع ما يفعله كل جزيء غاز فردي ، حتى في حالة التوازن الحراري. لن يكون ذلك ممكنًا ، خاصة عندما تفكر في أنه حتى في مساحة كأس الشرب الفارغة هناك حوالي 10

نوع الغاز الذي يسهل تحليله هو الغاز المثالي. إنه مثالي لأنه يسمح ببعض التبسيطات التي تجعل من السهل فهم الفيزياء. تعمل العديد من الغازات عند درجات الحرارة والضغوط القياسية كغازات مثالية تقريبًا ، مما يجعل دراستها مفيدة أيضًا.

في الغاز المثالي ، يُفترض أن جزيئات الغاز نفسها تتصادم في تصادمات مرنة تمامًا بحيث لا داعي للقلق بشأن تغيير شكل الطاقة نتيجة لمثل هذه الاصطدامات. من المفترض أيضًا أن الجزيئات بعيدة جدًا عن بعضها البعض ، وهذا يعني في الأساس لا داعي للقلق بشأن قتالهم لبعضهم البعض من أجل المساحة ويمكن أن تعاملهم كنقطة حبيبات. كما أن الغازات المثالية ليست شديدة السخونة ولا شديدة البرودة ، لذلك لا داعي للقلق بشأن التأثيرات مثل التأين أو التأثيرات الكمية.

من هنا يمكن معالجة جزيئات الغاز مثل جزيئات نقطية صغيرة ترتد داخل الحاوية. ولكن حتى مع هذا التبسيط ، لا يزال من غير المجدي فهم الغازات من خلال تتبع ما يفعله كل جسيم على حدة. ومع ذلك ، فإنه يسمح للعلماء بتطوير نماذج رياضية تصف العلاقات بين الكميات العيانية.

يرتبط قانون الغاز المثالي بضغط وحجم ودرجة حرارة الغاز المثالي. الضغطصمن الغاز هو القوة لكل وحدة مساحة التي يمارسها على جدران الحاوية التي يوجد بها. وحدة الضغط في النظام الدولي للوحدات هي باسكال (Pa) حيث 1Pa = 1N / m². الحجمالخامسمن الغاز هو مقدار المساحة التي يشغلها بوحدات SI بالمتر³. ودرجة الحرارةتيمن الغاز هو مقياس لمتوسط ​​الطاقة الحركية لكل جزيء ، ويقاس بوحدات SI من كلفن.

يمكن كتابة المعادلة التي تصف قانون الغاز المثالي على النحو التالي:

أيننهو عدد الجزيئات أو عدد الجسيمات وثابت بولتزمانك​ = 1.38064852×10^-23 كجم²/س²ك.

صيغة معادلة لهذا القانون هي:

أيننهو عدد المولات وثابت الغاز العامص= 8.3145 جول / مول ك.

هذان التعبيران متكافئان. أي واحد تختار استخدامه يعتمد ببساطة على ما إذا كنت تقيس عدد الجزيئات في المولات أو في عدد الجزيئات.

• 1 مول = 6.022 × 10²³ الجزيئات ، وهو رقم أفوجادرو.

بمجرد أن يتم تقريب الغاز على أنه مثالي ، يمكنك إجراء تبسيط إضافي. أي ، بدلاً من التفكير في الفيزياء الدقيقة لكل جزيء - والذي سيكون مستحيلًا بسبب عددهم الهائل - يتم التعامل معهم كما لو أن حركاتهم عشوائية. لهذا السبب ، يمكن تطبيق الإحصائيات لفهم ما يحدث.

في القرن التاسع عشر ، طور الفيزيائيان جيمس كليرك ماكسويل ولودفيج بولتزمان النظرية الحركية للغازات بناءً على التبسيط الموصوف.

كلاسيكيًا ، يمكن أن يكون لكل جزيء في الغاز طاقة حركية تُنسب إليه بالشكل:

ومع ذلك ، لا يمتلك كل جزيء في الغاز نفس الطاقة الحركية لأنها تصطدم باستمرار. يتم إعطاء التوزيع الدقيق للطاقات الحركية للجزيئات من خلال توزيع ماكسويل بولتزمان.

تصف إحصائيات ماكسويل بولتزمان توزيع جزيئات الغاز المثالية على حالات طاقة مختلفة. الوظيفة التي تصف هذا التوزيع هي كما يلي:

أينأهو ثابت التطبيع ،ههي الطاقة ،كهو ثابت بولتزمان وتيهي درجة الحرارة.

مزيد من الافتراضات التي تم إجراؤها للحصول على هذه الوظيفة هي أنه نظرًا لطبيعة الجسيمات النقطية ، لا يوجد حد لعدد الجسيمات التي يمكن أن تشغل حالة معينة. أيضًا ، فإن توزيع الجسيمات بين حالات الطاقة يأخذ بالضرورة التوزيع الأكثر احتمالا (مع أعداد أكبر من الجسيمات ، تزداد احتمالات عدم اقتراب الغاز من هذا التوزيع صغير). وأخيرًا ، كل حالات الطاقة متساوية في الاحتمال.

تعمل هذه الإحصائيات لأنه من غير المحتمل للغاية أن ينتهي أي جسيم معين بطاقة أعلى بكثير من المتوسط. إذا حدث ذلك ، فسيؤدي ذلك إلى عدد أقل بكثير من الطرق لتوزيع بقية الطاقة الإجمالية. يتلخص الأمر في لعبة الأرقام - نظرًا لوجود المزيد من حالات الطاقة التي لا تحتوي على جسيم أعلى بكثير من المتوسط ​​، فإن احتمال وجود النظام في مثل هذه الحالة ضئيل للغاية.

ومع ذلك ، فإن الطاقات الأقل من المتوسط ​​هي أكثر احتمالا ، مرة أخرى بسبب الكيفية التي تلعب بها الاحتمالات. نظرًا لأن جميع الحركات تعتبر عشوائية وهناك عدد أكبر من الطرق التي يمكن أن ينتهي بها الجسيم في حالة طاقة منخفضة ، فإن هذه الحالات مفضلة.

توزيع Maxwell-Boltzmann هو توزيع سرعات جزيئات الغاز المثالية. يمكن اشتقاق وظيفة توزيع السرعة هذه من إحصائيات Maxwell-Boltzmann واستخدامها لاشتقاق العلاقات بين الضغط والحجم ودرجة الحرارة.

توزيع السرعةالخامستعطى بالصيغة التالية:

أينمهي كتلة الجزيء.

منحنى التوزيع المرتبط ، مع وظيفة توزيع السرعة علىذ-المحور والسرعة الجزيئية علىx-المحور ، يشبه تقريبًا منحنى طبيعي غير متماثل مع ذيل أطول على اليمين. لها قيمة ذروة عند السرعة الأكثر احتمالاالخامس_ص، ومتوسط ​​سرعة مُعطى بواسطة:

لاحظ أيضًا كيف لها ذيل طويل ضيق. يتغير المنحنى قليلاً عند درجات حرارة مختلفة ، حيث يصبح الذيل الطويل "أكثر بدانة" في درجات الحرارة المرتفعة.

استخدم العلاقة:

أينه_intهي الطاقة الداخلية ،KE​_{​متوسط​} هو متوسط ​​الطاقة الحركية لكل جزيء من توزيع ماكسويل بولتزمان. جنبًا إلى جنب مع قانون الغاز المثالي ، من الممكن الحصول على علاقة بين الضغط والحجم من حيث الحركة الجزيئية: