الزخم الزاوي: التعريف والمعادلة والوحدات (مع الرسوم البيانية والأمثلة)

ضع في اعتبارك المشهد: أنت وصديق ، بسبب مشاكل خارجة عن إرادتك ، تقفان على قمة منحدر طويل مائل للأسفل. حصل كل واحد منكم على كرة نصف قطرها متر واحد بالضبط. تم إخبارك أن مادتك مصنوعة من مادة تشبه الرغوة وتبلغ كتلتها 5 كجم. كتلة كرة صديقك أيضًا تبلغ 5 كجم ، والتي تتحقق منها بميزان سهل الاستخدام.

يريد صديقك أن يراهن أنك إذا أطلقت الكرتين في نفس الوقت ، فإن كرتك ستصل إلى القاع أولاً. تميل إلى المجادلة بأنه نظرًا لأن الكرات لها نفس الكتلة ونفس نصف القطر (وبالتالي الحجم) ، فسوف يتم تسريعها بفعل الجاذبية أسفل المنحدر إلى نفس السرعة طوال فترة الهبوط. لكن شيئًا ما يوقف "زخم" رهاناتك ، ولا تأخذ الرهان ...

... بحكمة ، كما اتضح. على الرغم من أنه لا معنى له في البداية ، فإن كرة صديقك ، في جميع المظاهر ، وكأنها توأم خاص بك ، تتحرك إلى أسفل المنحدر بشكل أبطأ مما تفعله. بعد انتهاء التجربة ، تطالب بتفكيك الكرات وفحصها بحثًا عن علامات الخداع. بدلاً من ذلك ، كل ما تجده هو أن الكتلة التي تبلغ 5 كجم في كرة صديقك كانت محصورة في قشرة رقيقة حول الخارج ، مع وجود فراغ داخلي.

ماذا عن التكوين الموصوف أعلاه يميل قيمة v لصالح الكرة؟ كما يحدث ، تمامًا مثل

جسم متدحرج صلب له زخم خطي وزخم زاوي ، لأن مركز كتلته يتحرك بسرعة ثابتة v (يساوي على السرعة العرضية للكرة أو العجلة) ، يدور كل جزء آخر من الجسم حول مركز الكتلة ذا السرعة الزاوية ω.

كيف يتم توزيع الكتلة داخل جسم ما ليس له تأثير على زخمه الخطي ، ولكنه يحدد زخمه الزاوي بشكل رائع. يقوم بذلك من خلال كمية "شبيهة بالكتلة" (لأغراض الدوران) تسمى لحظة القصور الذاتي ، وقيم أعلى من مما يعني صعوبة أكبر في تدوير شيء ما وصعوبة أكبر في إيقافه بمجرد أن يكون بالفعل لف.

الزخم الزاوي هو مقياس لمدى صعوبة تغيير حركة دوران الجسم. يعتمد ذلك على لحظة القصور الذاتي للجسم وسرعته الزاوية. الزخم الزاوي هو كمية محفوظة ، مما يعني أن مجموع العزم الزاوي للجسيمات في نظام مغلق هو نفسه دائمًا ، حتى مع احتمال تقلب الجسيمات الفردية.

الزخم الزاوي ، كما لوحظ ، هو أيضًا دالة لتوزيع الكتلة حول المحور. للحصول على إحساس بديهي بهذا ، تخيل أنك تقف على بعد قدم واحدة من مركز لعبة دوامة دوارة ضخمة تُحدث ثورة واحدة كل 10 ثوانٍ. تخيل الآن أنك على نفس الجهاز الغريب بنفس السرعة الزاوية أثناء الوقوف 1ميلمن المركز. لا يتطلب الأمر الكثير من الخيال لتصور الاختلاف في الزخم الزاوي في هذين السيناريوهين.

​الزخم الزاوي هو نتاج لحظة القصور الذاتي مضروبة في سرعتها الزاوية ، أو:
​

أينإل= الزخم الزاوي بالكيلو جرام ∙ م²/s,أنا= لحظة القصور الذاتي بالكيلو جرام ∙ م²و ω = السرعة الزاوية بالتقدير الدائري في الثانية (راديان / ثانية).

• ​أناتسمى أيضًا اللحظة الثانية من المنطقة.

لاحظ أن المناقشة قد اتسعت من نقطة كتلة إلى جسم صلب ، مثل أسطوانة أو كرة ، تدور حول محور. غالبًا ما لا يكون مركز كتلة الجسم في مكانههندسيالمركز ، لذلك قيمأناتعتمد على كيفية توزيع كتلة الجسم. غالبًا ما يكون هذا متماثلًا ولكنه غير منتظم ، مثل القرص المجوف بكتلته في شريط رفيع من الخارج (بمعنى آخر ، حلقة).

يشير متجه الزخم الزاوي على طول محور الدوران ، عموديًا على المستوى المتكون منص، "المسح" الدائري لأي نقطة في الجسم عبر الفضاء.

مخطط مرجعي لقيمةأنالمختلف الأشكال الشائعة الموجودة في الموارد. استخدمها للبدء في بعض مشاكل الزخم الزاوي الأساسية.

• لاحظ أنأنالقذيفة كروية (2/3) السيد² بينما أن الكرة هي (2/5) السيد². بالعودة إلى الرهان في المقدمة ، يمكنك الآن أن ترى أن كرة صديقك بها (2/3) / (2/5) = 1.67 مرة من لحظة القصور الذاتي مثل تلك الخاصة بك ، موضحًا فوزك في "السباق".

1. قرص به قصور ذاتي دورانيأنا1.5 كجم ∙ م²/ s يدور حول محور بسرعة زاويةωمن 8 راد / ثانية. ما زخمها الزاويإل​?

2. قضيب رفيع طوله 15 مترًا وكتلته 5 كجم - على سبيل المثال عقرب ساعة ضخمة - يدور حول نقطة مثبتة في أحد طرفيه بسرعة زاويةω2π راد / 60 ثانية = (/ 30) راديان / ثانية. ما هو الزخم الزاويإل​?

هذه المرة ، تحتاج إلى البحث عن قيمةأنا. لقضيب رفيع يتحرك بهذه الطريقة ،أنا= (1/3) مص²​.

قارن هذا بالإجابة في المثال الأول. هل يفاجئك هذا؟ لما و لما لا؟

"الحفظ" يعني شيئًا مختلفًا قليلاً في الفيزياء عما هو عليه في عالم النظم البيئية. إنه يعني ببساطة أن الكمية الإجمالية للكميات المحفوظة (الطاقة ، والزخم ، والكتلة ، والقصور الذاتي هي كذلك تبقى الكميات "الأربعة الكبار" المحفوظة في الفيزياء) في نظام ، بما في ذلك الكون ، دائمًا نفس. إذا حاولت "التخلص" من الطاقة ، فإنها تظهر ببساطة في شكل آخر ، وأي محاولة "لخلق" تعتمد على مصدر موجود مسبقًا.

ينص قانون حفظ الزخم الزاوي على أنه في نظام مغلق ، لا يمكن أن يتغير الزخم الزاوي الكلي. نظرًا لأن الزخم الزاوي يعتمد على السرعة الزاوية ولحظة القصور الذاتي ، يمكن للمرء أن يتنبأ كيف يجب أن تتغير هذه الكميات فيما يتعلق ببعضها البعض في حالة معينة.

• رسميًا ، حيث يمكن التعبير عن عزم الدوران كـτ= دإل/ dt (معدل التغيير إذا كان الزخم الزاوي مع الوقت) ، عندما يكون مجموع عزم الدوران في النظام صفرًا ، ثم dإليجب أن يكون / dt صفرًا أيضًا ولا يوجد أي تغيير في الزخم الزاوي في النظام خلال الإطار الزمني الذي يتم فيه تقييم النظام. على العكس من ذلك ، إذا لم تكن L ثابتة ، فهذا يعني عدم توازن عزم الدوران في النظام (أي ،τ_صافيهوليسيساوي الصفر).

هذا مفهوم مهم في العديد من الأمثلة الميكانيكية من الحياة اليومية. مثال كلاسيكي هو المتزلجة على الجليد: عندما تقفز في الهواء لتقوم بعمل محور ثلاثي ، فإنها تسحب أطرافها بإحكام. هذا يقلل من نصف قطرها الكلي حول محور دورانها ، ويغير توزيعها للكتلة بحيث تقل لحظة القصور الذاتي لديها (تذكر ،أنايتناسب مع مص²​).

لأنه يتم الحفاظ على الزخم الزاوي ، ومع ذلك ، إذاأناينخفض ​​، يجب أن تزداد سرعتها الزاوية ؛ هذه هي الطريقة التي تدور بها بسرعة كافية لإكمال عدة دورات في الجو! عندما تهبط ، تقوم بالعكس - تنشر أطرافها ، وتغير توزيعها الكتلي لزيادة لحظة القصور الذاتي لديها ، مما يبطئ من معدل دورانها (السرعة الزاوية) بدوره.

في كل مكان ، يكون الزخم الزاوي للنظام ثابتًا ، ولكن يمكن التلاعب بالمتغيرات التي تحدد حجم الزخم الزاوي ، والتأثير الاستراتيجي ، كما في هذه الحالة.

ابتداءً من القرن السابع عشر ، شرع إسحاق نيوتن في إحداث ثورة فعالة في الفيزياء الرياضية. بعد أن شارك في اختراع التفاضل والتكامل ، كان في وضع جيد يمكنه من إصدار تأكيدات رسمية حول القوانين التي يُفترض أنها قوانين عالمية يتحكم في حركة الأشياء ، سواء كانت انتقالية (خطيًا وعبر الفضاء) ودورانية (دوريًا وحوالي محور).

• المختلفقوانين الحفظالذين تلقوا ذكرًا وافرًا لاحقًا ليسوا من أبناء أفكار نيوتن ، ولكن توجد علاقات مهمة بين هذه وقوانين الحركة.

​قانون نيوتن الأولينص على أن الجسم في حالة سكون أو يتحرك بسرعة ثابتة سيبقى في هذه الحالة ما لم تعمل قوة خارجية على الجسم. هذا يسمى أيضاقانون القصور الذاتي.​

​قانون نيوتن الثانييؤكد أن صافي القوةF_صافييعمل على جسيم مع كتلةم، سوف تميل إلى تغيير سرعة أو تسريع تلك الكتلة. يتم التعبير عن هذه العلاقة الشهيرة رياضيًا كـF_صافي= مأ​.

​قانون نيوتن الثالثيقول أنه لكل قوة موجودة في الطبيعة ، توجد قوة مساوية في الحجم ولكنها تشير إلى الاتجاه المعاكس تمامًا. هذا القانون له آثار مهمة على خصائص الحركة المحفوظة ، بما في ذلك الزخم الزاوي.

الآن هو وقت ممتاز لمراجعة الطبيعة والقواعد والعلاقات بينفرض​, ​قوة الدفع(الكتلة مضروبة في السرعة) وطاقة، والتي لا تفيد فقط في المناقشات حول الزخم الزاوي ولكن كل شيء آخر في الفيزياء الكلاسيكية.

كما لوحظ ، ما لم يتعرض الجسم لقوة خارجية (أو في حالة وجود جسم دوار ، عزم خارجي) ، فإن حركته لا تتأثر. ومع ذلك ، على الأرض ، تكون الجاذبية دائمًا في المزيج ، كما هو الحال بالنسبة للمساهمين الأقل في سحب الهواء وأنواع مختلفة من الاحتكاك القوى ، لذلك لا شيء يستمر في التحرك ما لم يتم إعطاؤه طاقة من حين لآخر لتحل محل ما "تأخذه" هذه الحركة المزمنة لصوص."

للتبسيط ، يمتلك الجسيم aإجمالي الطاقةتتكون منالطاقة الداخلية(على سبيل المثال ، اهتزاز جزيئاته) والطاقة الميكانيكية. الطاقة الميكانيكية هي تحويل مجموعالطاقة الكامنة(PE ؛ الطاقة "المخزنة" ، عادة عن طريق الجاذبية) والطاقة الحركية(KE ؛ طاقة الحركة). بشكل مفيد ، PE + KE + IE = ثابت لجميع الأنظمة ، سواء كانت كتلة نقطية (جسيم واحد) أو مجموعة متنوعة من الكتل المتفاعلة.

عندما تسمع مصطلحات تتعلق بالحركة ، مثل السرعة والتسارع والإزاحة والزخم ، فمن المحتمل أن تفترض افتراضيًا أن السياق هو حركة خطية. في الواقع ، للحركة الدورانية كمياتها الفريدة ولكن المتشابهة.

بينما يُقاس الإزاحة الخطية بالأمتار (م) بوحدات النظام الدولي للوحدات ، يُقاس الإزاحة الزاوية بالراديان (2π راديان = 360 درجة). وفقا لذلك،السرعة الزاويةيقاس في راديان / ثانية ويمثلهاω، الحرف اليوناني أوميغا.

ومع ذلك ، عندما تتحرك كتلة نقطية حول محور دورانها ، بالإضافة إلى السرعة الزاوية ، يتتبع الجسيم مسارًا دائريًا بمعدل معين ، أقرب إلى الحركة الخطية. هذا المعدل هوالسرعة العرضية​ ​الخامس_ر​​,ويساوي صω,أينصهو نصف القطر أو المسافة من محور الدوران.

بشكل مماثل ،التسارع الزاوي​ ​α(ألفا اليونانية) هو معدل تغير السرعة الزاويةωويقاس بوحدة راديان / ثانية². هنالك أيضاتسارع الجاذبية​ ​أ_جمعطى بواسطةالخامس_ر²/r,وهو موجه للداخل باتجاه محور الدوران.

• أثناء مناقشة الزخم الزاوي ، نظير مالخامسبعبارات خطية ، ستتم مناقشة مستفيضة قريبًا ، واعلم أن أحد مكوناتها ،أنا، يمكن اعتباره تناظريًا دورانيًا للكتلة.

الزخم الزاوي ، مثل القوة والإزاحة والسرعة والتسارع ، هو aكمية ناقلات، لأن هذه المتغيرات تشمل كلا منالحجم(أي رقم) وأاتجاه، غالبًا ما تُعطى شروط مكوناتها الفردية x و y و z. تُعرف الكميات التي تحتوي على عنصر عددي فقط ، مثل الكتلة والوقت والطاقة والعمل ، باسمكميات العددية​.