المعادلات الحركية: متى وكيف تستخدم كل صيغة (مع الاشتقاقات)

قائمة المعادلات الحركية

\ # \ text {1:} v_f = v_i + at \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)

ملاحظات حول المعادلات الحركية

حالة خاصة: السقوط الحر

إستراتيجية حل المشكلات الخاصة بمشكلات علم الحركة في بُعد واحد:

ارسم مخططًا للموقف واختر نظام إحداثيات مناسبًا. (أذكر ذلك x, الخامس و أ كلها كميات متجهة ، لذلك من خلال تعيين اتجاه إيجابي واضح ، سيكون من الأسهل تتبع العلامات.)

اكتب قائمة بالكميات المعروفة. (احذر من أن الأشياء المعروفة أحيانًا لا تكون واضحة. ابحث عن عبارات مثل "يبدأ من الراحة" ، مما يعني ذلك الخامس_أنا = 0 ، أو "يضرب الأرض" ، مما يعني ذلك x_F = 0 ، وهكذا).

حدد الكمية التي يريد السؤال أن تجدها. ما هو المجهول الذي ستحلونه؟

اختر المعادلة الحركية المناسبة. ستكون هذه هي المعادلة التي تحتوي على الكمية المجهولة مع الكميات المعروفة.

حل معادلة الكمية غير المعروفة ، ثم عوض بالقيم المعروفة واحسب الإجابة النهائية. (كن حذرا بشأن الوحدات! ستحتاج أحيانًا إلى تحويل الوحدات قبل الحوسبة.)

أمثلة على الكينماتيكا أحادية البعد

v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {؟} \\ x_f = \ text {؟ }

v_f = v_i + at \ يشير إلى a = \ frac {(v_f-v_i)} t

60 \ إلغاء {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0.477 \ text {m / s}} {\ إلغاء {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26.8 \ text {m / s}

a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ underline {\ bold {9.93} \ text {m / s} ^ 2}

x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 at ^ 2 = \ frac 1 2 \ times 9.93 \ times 2.7 ^ 2 = \ underline {\ bold {36.2} \ text {m}}

x_i = 1.5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9.8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =؟ \\ ر =؟

(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ implies v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}

v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5)} = \ pm \ sqrt {254.4} \ almost \ pm16 \ text {m / s}

v_f = \ تسطير {\ bold {-16} \ text {m / s}}

v_f = v_i + at \ implies t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ almost \ underline {\ bold {3.2} \ text {s }}

المعادلات الحركية لحركة المقذوفات (بعدين)

إستراتيجية حل المشكلات المتعلقة بمشكلات الحركة المقذوفة الحركية:

ارسم مخططًا للوضع. كما هو الحال مع الحركة أحادية البعد ، من المفيد رسم السيناريو والإشارة إلى نظام الإحداثيات. بدلا من استخدام الملصقات x, الخامس و أ بالنسبة للموضع والسرعة والتسارع ، نحتاج إلى طريقة لتمييز الحركة في كل بُعد على حدة.

بالنسبة للاتجاه الأفقي ، فهو الأكثر شيوعًا للاستخدام x للمنصب و الخامس_x للمركب x للسرعة (لاحظ أن العجلة تساوي صفرًا في هذا الاتجاه ، لذلك لا نحتاج إلى متغير لها). ذ الاتجاه ، هو الأكثر شيوعًا للاستخدام ذ للمنصب و الخامس_ذ لعنصر y للسرعة. يمكن تسمية التسارع أ_ذ أو يمكننا استخدام حقيقة أننا نعلم أن عجلة الجاذبية هي ز في الاتجاه y السلبي ، واستخدمه فقط بدلاً من ذلك.

اكتب قائمة بالكميات المعروفة وغير المعروفة بتقسيم المسألة إلى قسمين: الحركة الرأسية والأفقية. استخدم حساب المثلثات لإيجاد مركبتي x و y لأي كميات متجهة لا تقع على طول المحور. قد يكون من المفيد سرد ذلك في عمودين:

(إدراج الجدول 1)

ملحوظة: إذا أعطيت السرعة كمقدار مع زاوية ، Ѳ، فوق الأفقي ، ثم استخدم التحليل المتجهي ، الخامس_x= vcos (Ѳ) و الخامس_ذ= فيسين (Ѳ).

يمكننا دراسة معادلاتنا الحركية الثلاث من قبل وتكييفها مع اتجاهي x و y على التوالي.

اتجاه X:

x_f = x_i + v_xt

اتجاه ص:

v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2 جرام (y_f - y_i)

لاحظ أن التسارع في ذ الاتجاه هو -g إذا افترضنا أنه موجب. من المفاهيم الخاطئة الشائعة أن g = -9.8 m / s²، لكن هذا غير صحيح ؛ ز في حد ذاته هو مقدار التسارع: g = 9.8 m / s²، لذلك علينا تحديد أن العجلة سالبة.

أوجد قيمة واحدة غير معروفة في أحد هذه الأبعاد ، ثم عوض بما هو مشترك في كلا الاتجاهين. في حين أن الحركة في البعدين مستقلة ، فإنها تحدث على نفس مقياس الوقت ، وبالتالي فإن متغير الوقت هو نفسه في كلا البعدين. (الوقت الذي تستغرقه الكرة للخضوع لحركتها الرأسية هو نفس مقدار الوقت الذي تستغرقه للخضوع لحركتها الأفقية.)

أمثلة على الحركة الحركية للقذيفة

y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ implies t = \ sqrt {\ frac {(2 \ times 20)} g} = \ underline {\ bold {2.02} \ text {s} }

x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ underline {\ bold {101} \ text {s}}

v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ حوالي 86.6 \ نص {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ نص {م / ث}

x_f = x_i + v_xt = 86.6 \ times 10.2 \ almost \ underline {\ bold {883} \ text m}

x_f = x_i + v_xt = 86.6 \ times 5.1 \ almost \ underline {\ bold {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ times5.1- \ frac 1 2 9.8 \ times 5.1 ^ 2 \ almost \ underline {\ bold {128} \ text {m}}

اشتقاق المعادلات الحركية

أ = \ فارك {(v_f-v_i)} {t}

v_f = v_i + at

v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}

\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}

x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2

v_f = v_i + at \ implies t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}

v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ implies \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}

(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)