كيفية إيجاد dy / dx عن طريق التفاضل الضمني بالنظر إلى معادلة مماثلة مثل y = sin (xy)

التفاضل الضمني هو تقنية تُستخدم لتحديد مشتق دالة في الصورة y = f (x).

لمعرفة كيفية استخدام التفاضل الضمني ، يمكننا استخدام الطريقة في مثال بسيط ثم استكشاف بعض الحالات الأكثر تعقيدًا.

بينما يبدو الأمر أكثر تعقيدًا ، فإن التمايز الضمني يستخدم نفس الرياضيات والمهارات مثل التفاضل الأساسي. لكن الشيء المهم الذي يجب ملاحظته هو أن المتغير التابع يظهر الآن في الوظيفة نفسها.

خذ معادلة بسيطة مثل xy = 1. هناك طريقتان لإيجاد مشتق ذ بالنسبة إلى xأو dy / dx. أولًا ، يمكننا ببساطة إيجاد قيمة ذ في المعادلة واستخدم قاعدة القوة للمشتقات. سيؤدي القيام بذلك إلى: y = 1 / x. سيؤدي تطبيق قاعدة الأس إلى الكشف عن أن dy / dx = -1 / x².

يمكننا أيضًا حل هذه المشكلة باستخدام الاشتقاق الضمني. لحسن الحظ ، نحن نعرف الإجابة بالفعل (يجب أن تكون هي نفسها بغض النظر عن كيفية حسابها) ، حتى نتمكن من التحقق من عملنا!

للبدء ، طبق المشتق على طرفي المعادلة س ص = 1. ثم d / dx (xy) = d / dx (1) ؛ من الواضح أن الجانب الأيمن الآن يساوي 0 ، لكن الجانب الأيسر يتطلب قاعدة السلسلة. هذا لأننا نأخذ مشتقة وظيفتنا ، ذ، بينما يتم ضربها إلى عامل آخر

ينتج عن إعادة كتابة المعادلة: y + xy '= 0. حان الوقت لحلها ذ في معادلتنا! من الواضح أن y '= -y / x. لكن باستخدام المعلومات الأصلية ، نعلم أن y = 1 / x ، لذا يمكننا التعويض بها مرة أخرى. بمجرد القيام بذلك ، نرى أن y '= -1 / x²، تمامًا كما وجدنا من قبل.

لتحديد مشتق y = sin (xy) ، سنستخدم الاشتقاق الضمني بتذكر أن (d / dx) y = y '.

أولاً ، قم بتطبيق المشتق على جانبي المعادلة: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). الجانب الأيسر من المعادلة واضح ذ، وهو ما سنحتاج إلى حله ، لكن الجانب الأيمن سيتطلب بعض العمل ؛ على وجه التحديد ، قاعدة السلسلة وقاعدة المنتج. أولاً ، يجب تطبيق قاعدة السلسلة على sin (xy) ، ثم قاعدة حاصل الضرب للوسيطة س ص. لحسن الحظ ، قمنا بحساب قاعدة المنتج هذه بالفعل.

بعد ذلك ، يؤدي تبسيط ذلك إلى: y '= cos (xy) (y + xy').

من الواضح أن هذه المعادلة بحاجة إلى حل من أجل ذ من أجل تحديد كيف ذ ويرتبط ل x و ذ.

اعزل كل المصطلحات مع ذ على جانب واحد: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).

ثم عامل ذ للحصول على: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

الآن نرى أن y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).

المزيد من التبسيط ضروري ، ولكن نظرًا لتعريف وظيفتنا بشكل متكرر ، فإن التعويض بـ y = sin (xy) لن ينتج عنه على الأرجح حلاً مرضيًا. في هذه الحالة ، قد يكون من المفيد الحصول على مزيد من المعلومات أو طريقة أكثر تعقيدًا لتخطيط هذه المعادلات.

أولاً ، تذكر أن الاشتقاق الضمني يعتمد على كون أحد المتغيرات دالة على الآخر. بشكل عام ، نرى الدوال مثل y = f (x) ، لكن يمكن للمرء كتابة دالة x = f (y). كن حذرًا عند التعامل مع هذه المشكلات لتحديد أي متغير يعتمد على الآخر.

بعد ذلك ، تذكر أن تطبق قواعد الاشتقاق بعناية. سيتطلب التفاضل الضمني قاعدة السلسلة في كثير من الأحيان ، بالإضافة إلى قاعدة المنتج وقاعدة حاصل القسمة. سيكون تطبيق هذه الطرق بشكل صحيح ضروريًا لتحديد الإجابة النهائية.

أخيرًا ، أوجد المشتق المرغوب بعزله وتبسيط التعابير قدر الإمكان.