Перш ніж обговорювати центр ваги, припустимо кілька параметрів. По-перше, ви маєте справу з об’єктом, який знаходиться на поверхні Землі, а не десь у космосі. І два, що об’єкт досить малий - скажімо, не космічний корабель, який стоїть на Землі і чекає на зліт. Як тільки всі ці позаземні впливи будуть усунені, ви знаходитесь у чудовому положенні для розрахунку центру ваги для геометричних об’єктів за допомогою відносно проста формула - і насправді, через ті умови, які щойно встановлені, ви будете використовувати ту саму формулу, щоб знайти центр ваги, як і знайти центр мас.
Як писати про центр тяжіння
Центр ваги в двовимірній площині зазвичай позначається координатами (xcg, ycg) або іноді за зміннимихірз бруском над ними. Також термін "центр ваги" іноді скорочують до cg.
Як обчислити CG трикутника
У вашому підручнику з математики чи фізики часто будуть таблиці для визначення центру рівноваги певних фігур. Але для деяких загальних геометричних фігур ви можете використовувати відповідну формулу центру ваги, щоб знайти центр ваги цієї форми.
Для трикутників центр ваги знаходиться в точці, де перетинаються всі три медіани. Якщо ви починаєте з однієї вершини трикутника, а потім проводите пряму лінію до середини іншої сторони, це одна медіана. Зробіть те ж саме для двох інших вершин, і точка, де перетинаються всі три медіани, є центром ваги трикутника.
І звичайно, для цього існує формула. Якщо координати центру ваги трикутника дорівнюють (xcg, ycg), ви знайдете його координати таким чином:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3} {3} \\\ текст {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3} {3}
Де (x1, y1), (x2, y2) та (x3, y3) - координати трьох вершин трикутника. Ви можете вибрати, якій вершині присвоєно який номер.
Формула центру ваги для прямокутника
Ви помітили, що, щоб знайти центр ваги трикутника, ви просто усереднюєте значення координат x, потім усередніть значення координат y і використовуйте два результати як координати для центру ваги?
Щоб знайти центр ваги прямокутника, ви робите точно те саме. Але щоб зробити ваші розрахунки ще простішими, припустимо, що прямокутник орієнтований прямо на декартову координатну площину (тому вона не встановлена під кутом), і що її нижня ліва вершина знаходиться у початку координат графік. У такому випадку знайти (xcg, ycg) для прямокутника потрібно лише розрахувати:
x_ {cg} = \ frac {\ text {width}} {2} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {\ text {height}} {2}
Якщо ви не хочете переміщувати свій прямокутник до початку координатної площини, або якщо з якоїсь причини він не зовсім квадратний до осей координат, ви можете зіткнутися з цією трохи страшнішою на вигляд, але все ж ефективною формулою, щоб усереднити всі її координати x, щоб знайти значення з хcg, і усередніть усі координати y, щоб знайти значення ycg:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3 + x_4} {4} \\\ текст {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3 + y_4} {4}
Центр рівняння сили тяжіння
Що робити, якщо вам потрібно розрахувати центр ваги для фігури, яка відповідає всім згаданим припущенням (в основному, ви не намагаєтесь займатися дослівною ракетною наукою знаходячи центр ваги для об'єктів, що знаходяться в космосі), але він не потрапляє в жодну з категорій, що щойно згадані, або на графіки на задній панелі підручник? Тоді ви можете поділити свою фігуру на більш звичні фігури та використовувати наступні рівняння, щоб знайти їх колективний центр ваги:
x_ {cg} = \ frac {a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n} {a_1 + a_2 +... + a_n} \\\ текст {} \\ y_ {cg} = \ frac {a_1y_1 + a_2y_2 +... + a_ny_n} {a_1 + a_2 +... + a_n}
Або по-іншому, xcg дорівнює площі секції 1, помноженому на її розташування на осі х, доданій до площі секції в 2 рази більше її розташування, і так далі, доки ви не складете площу, помножену на розташування всіх секцій; потім розділіть всю цю суму на загальну площу всіх розділів. Тоді зробіть те ж саме для y.
З: Як мені знайти область кожного розділу?Поділ складної або неправильної форми на більш звичні багатокутники дозволяє використовувати стандартизовані формули для пошуку площі. Наприклад, якщо ви розділили цю фігуру на прямокутні шматки, ви можете використовувати формулу довжина × ширина, щоб знайти площу кожного шматка.
З: Яке "розташування" кожного розділу?Розташування кожної секції є відповідною координатою від центру ваги цієї секції. Тож якщо ти хочеш y2 (місце для сегмента 2), вам насправді потрібно вказати координату y для центру ваги цього сегмента. Знову ж таки, саме тому ви поділяєте предмет дивної форми на більш звичні форми, тому що ви можете використовувати вже обговорені формули, щоб знайти центр ваги кожної фігури, а потім виділити відповідну координату (s).
З: Куди рухається моя фігура на координатній площині?Ви можете вибрати, де ваша фігура розміщуватиметься на координатній площині - просто майте на увазі, що центр ваги вашої відповіді буде знаходитись відносно тієї ж точки відліку. Найпростіше розмістити об’єкт у першому квадранті графіка, нижній край якого спрямований проти осі х а лівий край проти осі y так, щоб усі значення x- та y були додатними, але також досить малими, щоб бути керований.
Хитрощі для пошуку центру ваги
Якщо ви маєте справу з одним об’єктом, інтуїція та трохи логіки іноді все, що вам потрібно, щоб знайти його центр ваги. Наприклад, якщо ви розглядаєте плоский диск, центром ваги буде центр диска. У циліндрі це середня точка на осі циліндра. Для прямокутника (або квадрата) це точка, де сходяться діагональні лінії.
Можливо, ви помітили тут закономірність: якщо у об’єкта, про який йде мова, є лінія симетрії, центр ваги буде на цій лінії. І якщо він має кілька осей симетрії, центр ваги буде там, де ці осі перетинаються.
Нарешті, якщо ви намагаєтеся знайти центр ваги для справді складного об’єкта, у вас є два варіанти: або витягніть свої найкращі інтеграли числення (див. Ресурси для потрійного інтегралу, що представляє центр ваги для нерівномірної маси), або введіть свої дані у спеціально побудований центр ваги калькулятор. (Див. "Ресурси" для прикладу калькулятора центру ваги для радіокерованих літаків.)