Уявіть, що ви стоїте посеред ідеально круглої арени. Ви дивитесь на натовп по боках арени, і ви помічаєте свого найкращого друга на одному місці та свого вчителя математики середньої школи на пару секцій. Яка відстань між ними та вами? Як далеко вам довелося б піти, щоб проїхати від місця свого друга до місця вчителя? Які міри кутів між вами? Це всі питання, що стосуються центральних кутів.
A центральний кут - це кут, який утворюється при проведенні двох радіусів від центру кола до його країв. У цьому прикладі два радіуси - це ваші дві прямі видимості від вас, у центрі арени, до вашого друга, і ваша пряма видимість до вашого вчителя. Кут, який утворюється між цими двома прямими, є центральним кутом. Це кут, найближчий до центру кола.
Ваш друг і ваш вчитель сидять уздовж окружність або краї кола. Шлях уздовж арени, що їх з'єднує, є дуга.
Знайдіть центральний кут за довжиною та довжиною дуги
Є кілька рівнянь, за якими можна знайти центральний кут. Іноді ви отримуєте довжина дуги, відстань по колу між двома точками. (У прикладі це відстань, яку потрібно було б обійти ареною, щоб пройти від свого друга до вчителя.) Зв’язок між центральним кутом і довжиною дуги:
(довжина дуги) ÷ окружність = (центральний кут) ÷ 360 °
Центральний кут буде в градусах.
Ця формула має сенс, якщо подумати. Довжина дуги від загальної довжини навколо кола (окружності) така ж, як кут дуги від загального кута в колі (360 градусів).
Щоб ефективно використовувати це рівняння, потрібно знати окружність кола. Але ви також можете використовувати цю формулу, щоб знайти довжину дуги, якщо ви знаєте центральний кут і окружність. Або, якщо у вас є довжина дуги та центральний кут, ви можете знайти окружність!
Знайдіть центральний кут за довжиною та радіусом дуги
Ви також можете використовувати радіус кола та довжину дуги, щоб знайти центральний кут. Назвіть міру центрального кута θ. Тоді:
θ = s÷ r, де s - довжина дуги, а r - радіус. θ вимірюється в радіанах.
Знову ж таки, ви можете переставити це рівняння залежно від наявної інформації. Довжину дуги можна знайти за радіусом та центральним кутом. Або ви можете знайти радіус, якщо у вас центральний кут і довжина дуги.
Якщо вам потрібна довжина дуги, рівняння виглядає так:
s =θ * r, де s - довжина дуги, r - радіус, а θ - центральний кут у радіанах.
Теорема про центральний кут
Давайте додамо твій приклад, коли ви знаходитесь на арені разом із сусідом та вчителем. Зараз на арені є третя людина, яку ви знаєте: ваш сусід по сусідству. І ще одне: вони позаду вас. Вам потрібно обернутися, щоб побачити їх.
Ваш сусід знаходиться приблизно через арену від вашого друга та вашого вчителя. З точки зору вашого сусіда, є кут, сформований їх прямим зором до друга та прямим зором до вчителя. Це називається вписаним кутом. Ан вписаний кут - це кут, утворений трьома точками по колу кола.
Теорема центрального кута пояснює взаємозв'язок між розміром центрального кута, сформованого вами, та вписаним кутом, утвореного вашим сусідом. Теорема про центральний кут зазначає що центральний кут вдвічі перевищує вписаний кут. (Це передбачає, що ви використовуєте однакові кінцеві точки. Ви обидва дивитесь на вчителя та друга, а не на когось іншого).
Ось ще один спосіб написати це. Давайте назвемо місце вашого друга A, місце вашого вчителя B і місце вашого сусіда C. Ви, в центрі, можете бути О.
Отже, для трьох точок A, B і C вздовж окружності кола і точки O в центрі центральний кут OCAOC дорівнює вдвічі вписаному куту ∠ABC.
Це, ∠AOC = 2∠ABC.
Це має певний сенс. Ви ближче до друга і вчителя, тому для вас вони виглядають далі (більший кут). Для вашого сусіда з іншого боку стадіону вони виглядають набагато ближче (менший кут).
Виняток з теореми про центральний кут
Тепер давайте зрушимо ситуацію. Ваш сусід на дальньому боці арени починає пересуватися! Вони все ще мають пряму видимість до друга та вчителя, але лінії та кути постійно змінюються, коли сусід рухається. Здогадайтесь: Поки сусід залишається поза дугою між другом і сусідом, теорема про центральний кут все ще виконується!
Але що відбувається, коли сусід переїжджає між друг і вчитель? Тепер ваш сусід знаходиться всередині мала дуга, відносно невелика відстань між другом та вчителем порівняно з більшою відстанню навколо решти арени. Тоді ви дійдете до винятку з теореми про центральний кут.
виняток з теореми про центральний кут стверджує, що коли точка С, сусід, знаходиться всередині другорядної дуги, вписаний кут є доповненням до половини центрального кута. (Пам'ятайте, що кут та його доповнення додайте до 180 градусів.)
Так: вписаний кут = 180 - (центральний кут ÷ 2)
Або: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Візуалізуйте
Math Open Reference має інструмент для візуалізації теореми центрального кута та її винятку. Ви можете перетягнути «сусіда» на всі різні частини кола і спостерігати за зміною кутів. Спробуйте, якщо хочете наочно або додатково потренуватися!