Математичні функції є потужними інструментами для бізнесу, техніки та наук, оскільки вони можуть виступати як мініатюрні моделі реальних явищ. Щоб зрозуміти функції та відношення, вам потрібно трохи заглибитися в такі поняття, як множини, упорядковані пари та відношення. Функція - це особливий вид відношення, який має лише однерзначення для даногохзначення. Існують інші види відносин, які виглядають як функції, але не відповідають суворому визначенню таких.
TL; ДР (занадто довгий; Не читав)
Співвідношення - це набір чисел, організованих у пари. Функція - це особливий вид відношення, який має лише однерзначення для даногохзначення.
Набори, упорядковані пари та відносини
Для опису відношень та функцій допомагає спочатку обговорити множини та впорядковані пари. Коротко кажучи, набір чисел - це їх сукупність, яка зазвичай міститься у фігурних дужках, таких як {15,1, 2/3} або {0, .22}. Як правило, ви визначаєте набір із правилом, таким як усі парні числа від 2 до 10 включно: {2,4,6,8,10}.
Набір може мати будь-яку кількість елементів або взагалі жоден, тобто нульовий набір {}. Впорядкована пара - це група з двох чисел, укладених у дужки, таких як (0,1) та (45, −2). Для зручності ви можете назвати перше значення в упорядкованій парі
Відносини та функції
Функція - це відношення, в якому будь-яка данахзначення має лише одне відповіднерзначення. Можна подумати, що з упорядкованими парами кожнахмає лише однурзначення в будь-якому випадку. Однак на прикладі наведеного вище відношення зауважте, щохзначення 1 і 2 мають по два відповіднірзначення, 0 і 5, і 10 і 15 відповідно. Це відношення не є функцією. Правило надає функціональному відношенню остаточність, яка в іншому випадку не існує з точки зорухзначення. Ви можете запитати, колихдорівнює 1, що такерзначення? На вищезгадане відношення питання не має однозначної відповіді; це може бути 0, 5 або обидва.
Тепер розглянемо приклад відношення, яке є істинною функцією: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}.хзначення ніде не повторюються. В якості іншого прикладу розглянемо {(−1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Деякірзначення повторюються, але це не порушує правило. Ви все ще можете сказати, що коли значенняхдорівнює 0,рточно 5.
Графічні функції: Тест вертикальної лінії
Ви можете визначити, чи є відношення функцією, побудувавши цифри на графіку та застосувавши тест вертикальної лінії. Якщо жодна вертикальна лінія, що проходить через графік, не перетинає його більше ніж в одній точці, відношення є функцією.
Функції як рівняння
Виписування набору впорядкованих пар як функції робить простий приклад, але швидко стає нудним, коли у вас більше кількох чисел. Для вирішення цієї проблеми математики записують функції у вигляді рівнянь, таких як
y = x ^ 2 - 2x + 3
Використовуючи це компактне рівняння, ви можете створити скільки завгодно впорядкованих пар: Підключіть різні значення длях, порахуй математику, і вийди свійрзначення.
Реальне використання функцій
Багато функцій служать математичними моделями, дозволяючи людям зрозуміти деталі явищ, які в іншому випадку залишались би загадковими. Візьмемо простий приклад: рівняння відстані для падаючого об’єкта є
d = \ frac {1} {2} g t ^ 2
дет- час у секундах, іg- це прискорення за рахунок сили тяжіння. Підключіть 9,8 для сили тяжіння землі в метрах на секунду у квадраті, і ви можете знайти відстань, яку впав об’єкт, у будь-який момент часу. Зверніть увагу, що при всій своїй корисності моделі мають обмеження. Приклад рівняння добре працює для опускання сталевої кульки, але не пір’я, оскільки повітря сповільнює перо.