Коли ви вперше починаєте вивчати функції, можливо, вам доведеться розглядати їх як машину: Ви вводите значення,х, у функцію, і після її обробки через машину, інше значення - назвемо їїр- вискакує далекий кінець. Діапазон можливиххвходи, які можуть надходити через машину для повернення дійсного виводу, називається доменом функції. Отже, якщо вас попросять знайти домен функції, вам дійсно потрібно з’ясувати, які можливі входи повернуть дійсний результат.
Стратегія пошуку домену
Якщо ви лише дізнаєтесь про функції та домени, зазвичай вважається, що домен функції - це "всі реальні числа". Тож коли ти взявшись за визначення домену, часто найпростіше використовувати свої знання з математики - особливо з алгебри -, щоб визначити, який саме числане єдійсних членів домену. Тож коли ви бачите вказівки "знайти домен", найчастіше найпростіше прочитати їх у своїй голові як "знайти та усунути будь-які цифри, якіне можебути в домені. "
У більшості випадків це зводиться до перевірки (та усунення) потенційних входів, які могли б спричинити невизначення дробу, або мають 0 у знаменнику та шукають потенційні вхідні дані, які дадуть вам від’ємні числа під квадратним коренем знак.
Приклад пошуку домену
Розглянемо функцію
f (x) = \ frac {3} {x - 2}
що насправді означає, що будь-яке число, яке ви введете, буде замінено нахправоруч від рівняння. Наприклад, якщо ви розрахувалиf(4) ви б мали
f (4) = \ frac {3} {4 - 2}
який працює до 3/2.
Але що, якби ви розрахувалиf(2) або, іншими словами, введення 2 замістьх? Тоді б ти
f (2) = \ frac {3} {2 - 2}
що спрощується до 3/0, що є невизначеною часткою.
Це ілюструє один із двох поширених випадків, коли можна виключити число з домену функції. Якщо йдеться про частку, і введення призведе до того, що знаменник цієї частки дорівнює нулю, тоді вхід потрібно виключити з домену функції.
Невелике обстеження покаже вам, що абсолютно будь-яке числокрім2 поверне дійсний (якщо іноді брудний) результат для розглянутої функції, тож доменом цієї функції є всі числа, крім 2.
Ще один приклад пошуку домену
Є ще один поширений приклад, який виключає можливі члени домену функції: наявність від’ємної величини під знаком квадратного кореня або будь-якого радикала з парним індексом. Розглянемо приклад функції
f (x) = \ sqrt {5 - x}
Якщох≤ 5, тоді величина під знаком радикала буде або 0, або позитивною, і поверне дійсний результат. Наприклад, якщох= 4,5
f (4.5) = \ sqrt {5 - 4.5} = \ sqrt {0.5}
який, хоча і безладний, все одно повертає дійсний результат. І якщох= −10, який ви мали б
f (-10) = \ sqrt {5 - (-10)} = \ sqrt {5 + 10} = \ sqrt {15}
що, знову ж таки, повертає дійсний, якщо брудний результат.
Але уявіть цех= 5,1. У той момент, коли ви на пальцях переходите лінію поділу між 5 і будь-якими числами, більшими за неї, ви отримуєте від’ємне число під радикалом:
f (5.1) = \ sqrt {5 - 5.1} = \ sqrt {-0.1}
Значно пізніше у вашій математичній кар'єрі ви навчитеся розуміти від'ємні квадратні корені, використовуючи поняття, яке називається уявними числами або комплексними числами. Але наразі наявність від’ємного числа під знаком радикала виключає це введення як дійсний член домену функції.
Отже, в даному випадку, тому що будь-яке числох≤ 5 повертає дійсний результат для цієї функції та будь-яке числох> 5 повертає недійсний результат, областю функції є всі числах ≤ 5.