Біноміальний розподіл описує змінну X якщо 1) існує фіксоване число п спостереження змінної; 2) всі спостереження не залежать одне від одного; 3) ймовірність успіху стор є однаковим для кожного спостереження; і 4) кожне спостереження представляє один із рівно двох можливих результатів (звідси слово "біноміальне" - думайте "бінарне"). Ця остання кваліфікація відрізняє біноміальні розподіли від розподілів Пуассона, які змінюються постійно, а не дискретно.
Такий розподіл можна написати B(п, стор).
Обчислення ймовірності даного спостереження
Скажіть значення k лежить десь вздовж графіка біноміального розподілу, який симетричний відносно середнього нп. Щоб розрахувати ймовірність того, що спостереження матиме це значення, слід розв’язати це рівняння:
P (X = k) = (n: k) p ^ k (1-p) ^ {n-k}
де
(n: k) = \ frac {n!} {k! (n - k)!}
"!" означає факторіальну функцію, наприклад, 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Приклад
Скажімо, баскетболіст виконує 24 штрафних кидки і має встановлений рівень успіху 75 відсотків (стор = 0.75). Які шанси, що вона вдарить рівно 20 із 24 своїх пострілів?
Спочатку обчислити (п: k) наступним чином:
\ frac {n!} {k! (n - k)!} = \ frac {24!} {(20!) (4!)} = 10626 \\
pk = 0,75 ^ {20} = 0,00317
(1-p) ^ {n-k} = (0,25) ^ 4 = 0,00390
Таким чином
P (20) = 10626 × 0,00317 × 0,00390 = 0,1314
Таким чином, у цього гравця є 13,1 відсотка шансів виконати рівно 20 з 24 штрафних кидків, відповідно до можливостей інтуїції запропонуйте про гравця, який, як правило, б'є 18 з 24 штрафних кидків (через встановлений рівень успіху 75 відсотків).