Різниця між класичною механікою та квантовою механікою величезна. У той час як у класичній механіці частинки та предмети мають чітко визначені положення, у квантовій механіці (до вимірювання) a Можна сказати, що частинка має лише діапазон можливих положень, які описуються з точки зору ймовірностей хвилею функція.
Рівняння Шредінгера визначає хвильову функцію квантово-механічних систем, і вивчення того, як її використовувати та інтерпретувати, є важливою частиною будь-якого курсу квантової механіки. Одним з найпростіших прикладів рішення цього рівняння є частинка в коробці.
Хвильова функція
У квантовій механіці частинка представлена aхвильова функція. Зазвичай це позначається грецькою буквою psi (Ψ) і це залежить як від положення, так і від часу, і містить усе, що можна знати про частинку.
Модуль цієї функції у квадраті повідомляє про ймовірність того, що частинка буде знайдена в положенніхвчаснот, за умови, що функція "нормалізована". Це просто означає скориговано, щоб його можна було точно знайти
деякіположенняхв той частколи результати в кожному місці підсумовуються, тобто умова нормалізації говорить, що:\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
За допомогою хвильової функції можна обчислити очікуване значення положення частинки в момент часут, де очікуване значення просто означає середнє значення, яке ви отримали бхякщо ви повторювали вимірювання велику кількість разів. Звичайно, це не означає, що це буде результат, який ви отримаєте для будь-якого даного вимірювання - тобтоефективновипадкові, хоча деякі місця, як правило, значно більш імовірні, ніж інші.
Існує багато інших величин, для яких можна розрахувати очікувані значення, наприклад імпульс та енергетичні значення, а також багато інших “спостережуваних”.
Рівняння Шредінгера
Рівняння Шредінгера - це диференціальне рівняння, яке використовується для знаходження значення хвильової функції та власних станів енергії частинки. Рівняння можна отримати на основі збереження енергії та виразів кінетичної та потенційної енергії частинки. Найпростіший спосіб написати це:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ частковоΨ} {\ частково t}
Але тутHпредставляєГамільтонів оператор, що саме по собі є досить довгим виразом:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ частковий ^ 2} {\ частковий x ^ 2} + V (x)
Ось,м- маса, ℏ - постійна Планка, поділена на 2π, іV (х) - загальна функція для потенційної енергії системи. Гамільтоніан має дві різні частини - перший член є кінетичною енергією системи, а другий член - потенційною енергією.
Кожне спостережуване значення в квантовій механіці пов'язане з оператором, і в незалежній від часу версії рівняння Шредінгера гамільтоніан є енергетичним оператором. Однак у часовій версії, показаній вище, гамільтоніан також генерує еволюцію часу хвильової функції.
Поєднуючи всю інформацію, що міститься у рівнянні, ви можете описати еволюцію частинки у просторі та часі та передбачити можливі значення енергії для неї також.
Незалежне від часу рівняння Шредінгера
Частина рівняння, яка залежить від часу, може бути вилучена - для опису ситуації, яка особливо не змінюється з часом - шляхом поділу хвильової функції на простір та часові частини:Ψ(х, т) = Ψ(х) f(т). Часозалежні частини потім можна вилучити з рівняння, що залишає незалежну від часу версію рівняння Шредінгера:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
Е- енергія системи. Це має точну форму рівняння власного значення, сΨ(х) є власною функцією, іЕбудучи власним значенням, саме тому рівняння, незалежне від часу, часто називають рівнянням власного значення для енергії квантово-механічної системи. Функція часу просто задається:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
Рівняння, незалежне від часу, корисно, оскільки воно спрощує розрахунки для багатьох ситуацій, коли еволюція часу не є особливо важливою. Це найкорисніша форма для задач "частинок у коробці" і навіть для визначення рівня енергії електронів навколо атома.
Частинка в коробці (нескінченна квадратна криниця)
Одне з найпростіших рішень рівняння Шредінгера, яке не залежить від часу, - це частинка в нескінченно глибока квадратна яма (тобто нескінченна потенційна яма) або одновимірна коробка основи довжинаL. Звичайно, це теоретичні ідеалізації, але це дає базове уявлення про те, як ви вирішуєте рівняння Шредінгера, не враховуючи багатьох ускладнень, які існують у природі.
Коли потенційна енергія встановлена на 0 поза свердловиною, де щільність ймовірності також дорівнює 0, рівняння Шредінгера для цієї ситуації стає:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
І загальним рішенням рівняння цього виду є:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
Однак перегляд граничних умов може допомогти звузити це. Длях= 0 іх= L, тобто сторони коробки або стінки свердловини, хвильова функція повинна дорівнювати нулю. Функція косинуса має значення 1, коли аргумент дорівнює 0, тому для виконання граничних умов - константаBповинен дорівнювати нулю. Це залишає:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
Ви також можете використовувати граничні умови для встановлення значення дляk. Оскільки функція sin дорівнює нулю за значеннямипπ, де квантове числоп= 0, 1, 2, 3... і так далі, це означає, колих = L, рівняння спрацює, лише якщоk = пπ / L. Нарешті, ви можете використовувати той факт, що хвильова функція повинна бути нормалізована, щоб знайти значенняA(інтегрувати в усі можливіхзначення, тобто від 0 доL, а потім встановіть результат рівним 1 і перевпорядкуйте), щоб отримати остаточний вираз:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Використовуючи вихідне рівняння та цей результат, ви можете вирішити дляЕ, що дає:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8мл ^ 2}
Зауважимо, що той факт, щопв цьому виразі означає, що рівні енергії єквантовані, тому вони не можуть взятибудь-якийзначення, але лише дискретний набір значень питомого рівня енергії в залежності від маси частинки та довжини коробки.
Частинка в коробці (Кінцевий квадратний колодязь)
Ця ж проблема дещо ускладнюється, якщо потенційна свердловина має кінцеву висоту стінки. Наприклад, якщо потенціалV (х) приймає значенняV0 поза потенційною ямою і 0 всередині неї, хвильову функцію можна визначити в трьох основних областях, охоплених проблемою. Однак це більш задіяний процес, тому тут ви зможете побачити лише результати, а не пройти весь процес.
Якщо свердловина нах= Від 0 дох = Lзнову ж таки, для регіону, дех<0 рішенням є:
Ψ (x) = Be ^ {kx}
Для регіонух > L, Це є:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Де
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
Для області всередині свердловини, де 0 <х < L, загальне рішення:
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
Де
w = \ sqrt {\ frac {-2м (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
Потім можна використовувати граничні умови для визначення значень константA, B, C.іD, зауваживши, що поряд із визначеними значеннями на стінках свердловини, хвильова функція та її перша похідна повинні бути скрізь неперервними, а хвильова функція повинна бути скрізь скінченною.
В інших випадках, таких як неглибокі ящики, вузькі ящики та багато інших конкретних ситуацій, можна знайти наближення та різні рішення.