Той, хто хоч раз грав у більярд, знайомий із законом збереження імпульсу, усвідомлюючи він це чи ні.
Закон збереження імпульсу є фундаментальним для розуміння та прогнозування того, що відбувається, коли предмети взаємодіють або стикаються. Цей закон передбачає рух більярдних куль і визначає, потрапляє вісім куль у кутову кишеню чи ні.
Що таке імпульс?
Імпульс визначається як добуток маси та швидкості об’єкта. У формі рівняння це часто записують якp = mv.
Це векторна величина, що означає, що з нею пов’язаний напрямок. Напрямок вектора імпульсу об’єкта є тим самим, що і вектор швидкості.
Імпульс ізольованої системи - це сума імпульсів кожного окремого об’єкта в цій системі. Ізольована система - це система взаємодіючих об’єктів, які ніяким чином не взаємодіють ні з чим іншим. Іншими словами, на систему не діє чиста зовнішня сила.
Вивчення загального імпульсу в ізольованій системі важливо, оскільки воно дозволяє робити прогнози щодо того, що станеться з об’єктами в системі під час зіткнень та взаємодій.
Що таке закони про збереження?
Перш ніж приступати до розуміння закону збереження імпульсу, важливо зрозуміти, що розуміється під «збереженою кількістю».
Зберегти щось означає запобігти певним чином втрати або втрату їх. У фізиці величина називається збереженою, якщо вона залишається постійною. Ви могли б почути вираз, оскільки він стосується збереження енергії, тобто поняття, що енергію не можна ні створювати, ні руйнувати, а лише змінювати форму. Отже, загальна його кількість залишається постійною.
Коли ми говоримо про збереження імпульсу, ми говоримо про загальну кількість імпульсу, який залишається незмінним. Цей імпульс може переходити від одного об’єкта до іншого в межах ізольованої системи і все ще вважатись збереженим, якщо загальний імпульс у цій системі не зміниться.
Другий закон руху Ньютона і закон збереження імпульсу
Закон збереження імпульсу можна вивести з другого закону руху Ньютона. Нагадаємо, що цей закон стосувався чистої сили, маси та прискорення об’єкта якFчистий = ма.
Фокус тут полягає в тому, щоб думати про цю чисту силу як про дію на систему в цілому. Закон збереження імпульсу застосовується, коли чиста сила на систему дорівнює 0. Це означає, що для кожного об’єкта в системі єдині сили, які можуть на нього діяти, повинні надходити від інших об’єктів у системі, а то інакше їх скасувати.
Зовнішніми силами можуть бути тертя, сила тяжіння або опір повітря. Вони повинні або не діяти, або їм потрібно протидіяти, щоб зробити чисту силу на систему 0.
Ви можете розпочати виведення з твердженняFчистий = ma = 0.
мв даному випадку - маса всієї системи. Прискорення, про яке йде мова, є чистим прискоренням системи, яке відноситься до прискорення центру мас системи (центр мас - це середнє розташування загальної системи маса.)
Для того, щоб чиста сила становила 0, тоді прискорення також повинно бути 0. Оскільки прискорення - це зміна швидкості з часом, це означає, що швидкість не повинна змінюватися. Іншими словами, швидкість постійна. Звідси ми отримуємо твердження, щоmvсм= константа.
Деvсм- швидкість центру мас, задана формулою:
v_ {cm} = \ frac {m_1v_1 + m_2v_2 + ...} {m_1 + m_2 + ...}
Тож заява зводиться до:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \ текст {константа}
Це рівняння, яке описує збереження імпульсу. Кожен доданок є імпульсом одного з об'єктів у системі, і сума всіх імпульсів повинна бути постійною. Інший спосіб це виразити, вказавши:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} +... = m_1v_ {1f} + m_2v_ {2f} + ...
Де індексiпосилається на початкові значення іfдо кінцевих значень, як правило, що відбуваються до, а потім після якоїсь взаємодії, наприклад, зіткнення між об'єктами в системі.
Пружні та непружні зіткнення
Причина, по якій закон збереження імпульсу є важливим, полягає в тому, що він може дозволити вам вирішити для невідома кінцева швидкість тощо для об'єктів в ізольованій системі, які можуть зіткнутися з кожним інший.
Існує два основних способи, за допомогою яких може статися таке зіткнення: пружно чи нееластично.
Ідеально еластичним є зіткнення, при якому об'єкти, що стикаються, відбиваються один від одного. Цей тип зіткнення характеризується збереженням кінетичної енергії. Кінетична енергія об'єкта задається за формулою:
KE = \ frac {1} {2} mv ^ 2
Якщо кінетична енергія зберігається, то сума кінетичних енергій усіх об'єктів у системі повинна залишатися незмінною як до, так і після будь-яких зіткнень. Використання збереження кінетичної енергії разом із збереженням імпульсу може дозволити вам вирішити більше однієї кінцевої або початкової швидкості в системі зіткнення.
Ідеально нееластичне зіткнення - це те, при якому, коли два об'єкти стикаються, прилипають один до одного і згодом рухаються як особлива маса. Це також може спростити проблему, оскільки вам потрібно визначити лише одну остаточну швидкість замість двох.
Хоча імпульс зберігається при обох типах зіткнень, кінетична енергія зберігається лише при пружному зіткненні. Більшість зіткнень у реальному житті не є ні абсолютно еластичними, ні абсолютно нееластичними, але лежать десь посередині.
Збереження імпульсу кута
Те, що було описано в попередньому розділі, це збереження лінійного імпульсу. Існує ще один тип імпульсу, який застосовується до обертального руху, який називається кутовим моментом.
Як і при лінійному імпульсі, кутовий момент також зберігається. Імпульс кута залежить від маси об'єкта, а також від того, наскільки ця маса знаходиться від осі обертання.
Коли фігурист обертається, ви побачите, як вони обертаються швидше, наближаючи руки до тіла. Це пояснюється тим, що їх кутовий момент зберігається лише в тому випадку, якщо їх швидкість обертання зростає пропорційно тому, наскільки близько вони наближають руки до центру.
Приклади проблем збереження імпульсу
Приклад 1:Два більярдні кулі однакової маси котяться один до одного. Один їде з початковою швидкістю 2 м / с, а інший - зі швидкістю 4 м / с. Якщо їх зіткнення ідеально пружне, якою є кінцева швидкість руху кожного кульки?
Рішення 1:При вирішенні цієї проблеми важливо вибрати систему координат. Оскільки все відбувається по прямій лінії, ви можете вирішити, що рух вправо є позитивним, а рух вліво - негативним. Припустимо, перша куля рухається вправо зі швидкістю 2 м / с. Тоді швидкість другої кулі -4 м / с.
Напишіть вираз для загального імпульсу системи до зіткнення, а також загальної кінетичної енергії системи до зіткнення:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2
Підключіть значення, щоб отримати вираз для кожного:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} = 2m - 4m = -2m \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2 = \ frac {1} {2} м (2) ^ 2 + \ frac {1} {2} м (-4) ^ 2 = 10 м
Зауважте, що оскільки вам не дали значень для мас, вони залишаються невідомими, хоча обидві маси були однаковими, що дозволило деяке спрощення.
Після зіткнення вирази імпульсу та кінетичної енергії є:
mv_ {1f} + mv_ {2f} \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2} mv_ {2f} ^ 2
Встановивши початкові значення, рівні кінцевим значенням кожного, ви можете скасувати маси. Тоді у вас залишиться система з двох рівнянь і двох невідомих величин:
mv_ {1f} + mv_ {2f} = -2m \ передбачає v_ {1f} + v {2f} = -2 \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2 } mv_ {2f} ^ 2 = 10m \ передбачає v_ {1f} ^ 2 + v {2f} ^ 2 = 20
Вирішення системи алгебраїчно дає такі рішення:
v_ {if} = -4 \ text {m / s} v_ {2f} = 2 \ text {m / s}
Ви помітите, що оскільки дві кулі мали однакову масу, вони по суті обмінювались швидкостями.
Приклад 2:Автомобіль вагою 1200 кг, що рухається на схід із швидкістю 20 миль на годину, стикається зіткненням з вантажівкою вагою 3000 кг, яка рухається на захід зі швидкістю 15 миль на годину. Два автомобілі склеюються при зіткненні. З якою кінцевою швидкістю вони рухаються?
Рішення 2:Що слід зазначити щодо цієї конкретної проблеми - це одиниці виміру. Одиниці SI для імпульсу складають кг areм / с. Однак вам дають масу в кг і швидкість в милях на годину. Зверніть увагу, що поки всі швидкості мають однакові одиниці, перетворення не потрібно. Коли ви вирішите остаточну швидкість, ваша відповідь буде в милях на годину.
Початковий імпульс системи може бути виражений як:
m_cv_ {ci} + m_tv_ {ti} = 1200 \ разів 20 - 3000 \ разів 15 = -21000 \ текст {кг} \ разів \ text {миль / год}
Остаточний імпульс системи може бути виражений як:
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
Закон збереження імпульсу говорить вам, що ці початкові та кінцеві значення повинні бути однаковими. Ви можете вирішити остаточну швидкість, встановивши початковий імпульс рівним кінцевому імпульсу, вирішивши остаточну швидкість наступним чином:
4200v_f = -21000 \ передбачає v_f = \ frac {-21000} {4200} = -5 \ text {mph}
Приклад 3:Покажіть, що кінетична енергія не зберігалась у попередньому питанні, пов’язаному з непружним зіткненням автомобіля та вантажівки.
Рішення 3:Початковою кінетичною енергією цієї системи було:
\ frac {1} {2} m_cv_ {ci} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_tv_ {ti} ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200) (20) ^ 2 + \ frac { 1} {2} (3000) (15) ^ 2 = 557500 \ текст {кг (миль / год)} ^ 2
Кінцева кінетична енергія системи становила:
\ frac {1} {2} (m_c + m_t) v_f ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200 + 3000) 5 ^ 2 = 52 500 \ текст {кг (миль / год)} ^ 2
Оскільки початкова загальна кінетична енергія та загальна кінцева кінетична енергія не рівні, то можна зробити висновок, що кінетична енергія не зберігалася.