Кінетична енергія обертанняописує енергію руху, що виникає внаслідок обертання або кругового руху об’єкта. Згадаймо целінійна кінетична енергіямасимрухаючись зі швидкістюvзадається 1/2 мв2. Це прямий розрахунок для будь-якого об’єкта, що рухається прямолінійним шляхом. Це стосується центру мас об’єкта, дозволяючи апроксимувати об’єкт як точкову масу.
Тепер, якщо ми хочемо описати кінетичну енергію протяжного об'єкта, який зазнає більш складного руху, обчислення стає складнішим.
Ми могли б робити послідовні наближення, розбиваючи розширений об’єкт на дрібні шматочки, кожен з яких можна апроксимувати як a точкову масу, а потім обчисліть лінійну кінетичну енергію для кожної точкової маси окремо, і складіть їх усі, щоб знайти загальну для об'єкт. Чим менше ми розбиваємо об’єкт, тим краще наближення. У межах, де шматочки стають нескінченно малими, це можна зробити за допомогою числення.
Але нам пощастило! Коли справа стосується обертального руху, тут є спрощення. Для обертового об'єкта, якщо ми опишемо його розподіл маси навколо осі обертання через його момент інерції,
Момент інерції
Момент інерціїє мірою того, наскільки важко змусити об’єкт змінити обертальний рух навколо певної осі. Момент інерції для обертається об'єкта залежить не тільки від маси об'єкта, але і від того, як ця маса розподіляється навколо осі обертання. Чим далі від осі розподілена маса, тим важче змінити її обертальний рух, а отже, і більший момент інерції.
Одиниці SI для моменту інерції складають кгм2 (що узгоджується з нашим уявленням, що це залежить від маси та відстані від осі обертання). Моменти інерції для різних об’єктів можна знайти в таблиці або з числення.
Поради
Момент інерції для будь-якого об'єкта можна знайти, використовуючи числення та формулу моменту інерції точкової маси.
Рівняння обертальної кінетичної енергії
Формула кінетичної енергії обертання дається за формулою:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
ДеЯ- момент інерції об'єкта іω- кутова швидкість об’єкта в радіанах за секунду (рад / с). Одиницею SI для кінетичної енергії обертання є джоуль (J).
Форма формули обертальної кінетичної енергії є аналогічною рівнянню поступальної кінетичної енергії; момент інерції відіграє роль маси, а кутова швидкість замінює лінійну швидкість. Зверніть увагу, що рівняння кінетичної енергії обертання дає той самий результат для точкової маси, що і лінійне рівняння.
Якщо уявити точкову масумрухаючись по колу радіусарзі швидкістюv, тоді його кутова швидкість дорівнює ω = v / r, а момент інерції - mr2. Обидва рівняння кінетичної енергії дають однаковий результат, як і очікувалося:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\ cancel {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Якщо об'єкт одночасно обертається, а центр його маси рухається по прямій лінії шляху (як це відбувається, наприклад, з шиною, що котиться), тодізагальна кінетична енергія- сума кінетичної енергії обертання та поступальної кінетичної енергії:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Приклади використання формули обертальної кінетичної енергії
Формула обертальної кінетичної енергії має багато застосувань. Він може бути використаний для обчислення простої кінетичної енергії обертається об'єкта, для обчислення кінетичної енергії об’єкт, що котиться (об’єкт, що зазнає як обертального, так і поступального руху) і вирішується для іншого невідомі. Розглянемо такі три приклади:
Приклад 1:Земля обертається навколо своєї осі приблизно раз на 24 години. Якщо припустити, що він має рівномірну щільність, якою є його кінетична енергія обертання? (Радіус землі 6,37 × 106 м, а його маса - 5,97 × 1024 кг.)
Щоб знайти кінетичну енергію обертання, спочатку ми повинні знайти момент інерції. Апроксимуючи Землю як тверду кулю, ми отримуємо:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5.97 \ times10 ^ {24} \ text {kg}) (6.37 \ times10 ^ 6 \ text {m}) ^ 2 = 9,69 \ раз10 ^ {37} \ текст {кгм} ^ 2
Кутова швидкість становить 2π радіанів / добу. Перетворення цього на рад / с дає:
2 \ pi \ frac {\ text {радіани}} {\ скасувати {\ text {день}}} \ frac {1 \ скасувати {\ text {день}}} {86400 \ text {секунди}} = 7,27 \ times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
Тож обертальна кінетична енергія Землі дорівнює:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9,69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2) (7,27 \ times10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2,56 \ разів 10 ^ {29} \ text {J}
Цікавий факт: це в 10 разів більше загальної енергії, яку сонце видає за хвилину!
Приклад 2:Рівномірний циліндр масою 0,75 кг і радіусом 0,1 м котиться по підлозі з постійною швидкістю 4 м / с. Яка його кінетична енергія?
Загальна кінетична енергія визначається:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
У цьому випадку I = 1/2 мр2 - момент інерції для твердого циліндра, іωпов'язана з лінійною швидкістю через ω = v / r.
Спрощення виразу для загальної кінетичної енергії та підключення значень дає:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1} } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ текст {kg}) (4 \ text {м / с}) = 2,25 \ text {J}
Зверніть увагу, що нам навіть не потрібно було використовувати радіус! Він скасовано через прямий зв’язок між швидкістю обертання та лінійною швидкістю.
Приклад 3:Студент на велосипеді спускається на гірку від відпочинку. Якщо вертикальна висота пагорба дорівнює 30 м, з якою швидкістю йде учень на дні пагорба? Припустимо, що велосипед важить 8 кг, вершник важить 50 кг, кожне колесо важить 2,2 кг (включено у вагу велосипеда), а кожне колесо має діаметр 0,7 м. Наблизити колеса як обручі і припустити, що тертя незначне.
Тут ми можемо використовувати механічне збереження енергії, щоб знайти кінцеву швидкість. Потенційна енергія на вершині пагорба перетворюється на кінетичну енергію внизу. Ця кінетична енергія є сумою поступальної кінетичної енергії всієї системи людина + велосипед та кінетичної енергії обертання шин.
Загальна енергія системи:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ text {kg} + 8 \ text {kg}) (9,8 \ text {m / s} ^ 2) (30 \ text {m}) = 17,052 \ текст {J}
Формула загальної енергії з точки зору кінетичної енергії на дні пагорба має вигляд:
E_ {tot} = KE_ {знизу} = \ frac {1} {2} I_ {шини} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ рази м_ {шина} \ рази r_ {шина} ^ 2) (v / r_ {шина}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {шина} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {шина} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Вирішення дляvдає:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {tyre} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
Нарешті, підключивши цифри, ми отримуємо нашу відповідь:
v = \ sqrt {\ frac {17,052 \ text {J}} {2,2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23,4 \ text {m / s}