Добуток двох скалярних величин є скаляром, а добуток скаляра з вектором - вектором, а як щодо добутку двох векторів? Це скаляр, чи інший вектор? Відповідь полягає в тому, що це може бути будь-яке!
Існує два способи множення векторів разом. Один - беручи їх точковий добуток, який дає скаляр, а інший - беручи їх поперечний добуток, який дає інший вектор. Який продукт використовувати, залежить від конкретного сценарію та якої кількості ви намагаєтесь знайти.
крапковий вирібіноді називаютьскалярний продуктабовнутрішній продукт. Геометрично ви можете думати про точковий добуток між двома векторами як про спосіб множення векторних значень, який враховує лише внески в одному напрямку.
- Примітка: Точкові вироби можуть бути негативними чи позитивними, але цей знак не є вказівкою напрямку. Хоча в одному вимірі векторний напрямок часто позначається знаком, скалярні величини можуть також мати пов'язані з ними знаки, які не є покажчиками напрямку. Борг - лише один із багатьох прикладів цього.
Визначення крапкового продукту
Точковий добуток векторіва = (ах, aр)іb = (bх, bр)у стандартній декартовій системі координат визначається наступним чином:
\ жирний {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Коли ви берете крапковий добуток вектора з собою, виникає цікавий взаємозв'язок:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Де |а| - величина (довжина)аза теоремою Піфагора.
Іншу формулу крапкового добутку можна отримати, використовуючи закон косинусів. Це робиться наступним чином:
Розглянемо ненульові векториаіbразом з їх різницевим векторома - б. Розташуйте три вектори, щоб утворився трикутник.
Закон косинусів з тригонометрії говорить нам, що:
| \ жирний {ab} | ^ 2 = | \ жирний {a} | ^ 2 + | \ жирний {b} | ^ 2 - 2 | \ жирний {a} || \ жирний {b} | \ cos (\ theta )
І використовуючи визначення точкового добутку, ми отримуємо:
| \ жирний {ab} | ^ 2 = (\ жирний {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ жирний {a} | ^ 2 + | \ жирний {b} | ^ 2 - 2 \ жирний {a \ cdot b}
Встановивши обидва вирази рівними, а потім спростивши, отримаємо:
\ скасувати {| \ жирний {a} | ^ 2} + \ скасувати {| \ жирний {b} | ^ 2} - 2 \ жирний {a \ cdot b} = \ скасувати {| \ жирний {a} | ^ 2 } + \ скасувати {| \ жирний {b} | ^ 2} - 2 | \ жирний {a} || \ жирний {b} | \ cos (\ theta) \\\ текст {} \\\ передбачає \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ жирний {a} || \ жирний {b} | \ cos (\ theta)}
Це формулювання дозволяє нашій геометричній інтуїції взяти участь. Кількість |а| cos (θ) - величина проекції вектораана векторb.
Тож ми можемо сприймати крапковий добуток як проекцію одного вектора на інший, а потім добуток їх значень. Іншими словами, це можна розглядати як добуток одного вектора на кількість іншого вектора в тому ж напрямку, що і він сам.
Властивості крапкового продукту
Нижче наведено кілька властивостей крапкового продукту, які можуть вам виявитися корисними:
\ # \ текст {1. Якщо} \ theta = 0 \ text {,}} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
Це тому, що cos (0) = 1.
\ # \ текст {2. Якщо} \ theta = 180 \ text {,}} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
Це тому, що cos (180) = -1.
\ # \ текст {3. Якщо} \ theta = 90 \ text {,}} \ bold {a \ cdot b} = 0
Це тому, що cos (90) = 0.
- Примітка: Для 0 <
θ
<90, крапковий добуток буде додатним, а для 90 <
θ
<180, крапковий добуток буде від’ємним.
\ # \ текст {4. } \ жирний {a \ cdot b} = \ жирний {b \ cdot a}
Це випливає із застосування комутативного закону до визначення точкового продукту.
\ # \ текст {5. } \ жирний {a \ cdot (b + c)} = \ жирний {a \ cdot b} + \ жирний {a \ cdot c}
Доказ:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ жирний {a \ cdot b} + \ жирний {a \ cdot c}
\ # \ текст {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
Доказ:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ жирний {b}
Як знайти крапковий виріб
Приклад 1:У фізиці робота, що виконується силоюFна об'єкті, коли він зазнає переміщенняd, визначається як:
W = \ жирний {F} \ cdot \ жирний {d} = | \ жирний {F} || \ жирний {d} | \ cos (\ theta)
Де θ - кут між вектором сили та вектором переміщення.
Обсяг роботи, проведеної силою, є показником того, наскільки ця сила сприяла переміщенню. Якщо сила знаходиться в тому ж напрямку, що і переміщення (cos (θ) = 0), це робить свій максимальний внесок. Якщо вона перпендикулярна до переміщення (cos (Ѳ) = 90), це взагалі не вносить жодного внеску. І якщо воно протилежне зміщенню, (cos (θ) = 180), це робить негативний внесок.
Припустимо, дитина штовхає іграшковий шлейф через доріжку, приклавши силу 5 Н під кутом 25 градусів відносно лінії доріжки. Скільки роботи виконує дитина в поїзді, коли вона рухає його на 0,5 м?
Рішення:
F = 5 \ text {N} \\ d = 0,5 \ text {m} \\ \ theta = 25 \ градус \\
Потім ми використовуємо точкове визначення продукту роботи та підключення значень:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ times0,5 \ times \ cos (25) = \ в коробці {2.27 \ text {J}}
З цього конкретного прикладу має бути ще зрозуміліше, що прикладання сили, перпендикулярної напрямку переміщення, не дає ніякої праці. Якщо дитина штовхнула поїзд під прямим кутом до колії, поїзд не рухатиметься вперед чи назад уздовж колії. Також інтуїтивно зрозуміло, що робота, яку виконує дитина в поїзді, збільшуватиметься із зменшенням кута, а сила та зміщення будуть ближчими до вирівнювання.
Приклад 2:Потужність - ще один приклад фізичної величини, яку можна обчислити за допомогою крапкового добутку. У фізиці потужність дорівнює роботі, поділеній на час, але її також можна записати як точковий добуток сили та швидкості, як показано:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Деv- це швидкість.
Розглянемо попередній приклад гри дитини з поїздом. Якщо замість цього нам кажуть, що застосовується однакова сила, що змушує поїзд рухатися зі швидкістю 2 м / с по колії, тоді ми можемо використовувати крапковий виріб для пошуку потужності:
P = \ жирний {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ times2 \ times \ cos (25) = 9,06 \ text {Вт}
Приклад 3:Інший приклад використання точкових виробів у фізиці - у випадку магнітного потоку. Магнітний потік - це величина магнітного поля, що проходить через дану область. Він виявляється як точковий добуток магнітного поляBз площеюA. (Напрямок вектора площі дорівнюєнормальнийабо перпендикулярно до поверхні місцевості.)
\ Phi = \ жирний {B \ cdot A}
Припустимо, поле 0,02 Тесла проходить через дротяну петлю радіусом 10 см, складаючи кут 30 градусів з нормаллю. Що таке потік?
\ Phi = \ жирний {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02 \ раз (\ pi \ times0,1 ^ 2) \ times \ cos (30) = 0,000544 \ text {Wb}
Коли цей потік змінюється, або шляхом зміни значення поля, зміни площі циклу або зміни кут, обертаючи петлю або джерело поля, струм буде індукований в петлі, генеруючи електрика!
Знову зауважимо, як інтуїтивно відповідає кут. Якби кут становив 90 градусів, це означало б, що поле лежало б на тій самій площині, що і площа, і жодні лінії поля не проходили б через петлю, в результаті чого не було потоку. Потім кількість потоку збільшується, чим ближче кут між полем і нормаллю досягає 0. Точковий добуток дозволяє нам визначити, яка частина поля знаходиться в напрямку, нормальному до поверхні, і, отже, сприяє потоку.
Векторна проекція та крапковий продукт
У попередніх розділах згадувалося, що точковий добуток можна розглядати як спосіб проектування одного вектора на інший, а потім множення їх величин. Тому не дивно, що формулу векторної проекції можна отримати з крапкового добутку.
Для проектування вектораана векторb, беремо крапковий добутоказодиниця векторау напрямкуb, а потім помножте цей скалярний результат на той самий одиничний вектор.
Одиничний вектор - це вектор довжиною 1, який лежить у певному напрямку. Одиниця вектора у напрямку вектораbпросто векторbділиться на величину:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
Тож ця проекція тоді:
\ text {Проекція} \ bold {a} \ text {на} \ bold {b} = \ Великий (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Великий) \ frac {\ жирний {b}} {| \ жирний {b} |} = \ Великий (\ жирний {a} \ cdot \ frac {\ жирний {b}} {| \ жирний {b} | ^ 2} \ Великий) \ жирний {b}
Точковий виріб у вищому вимірі
Подібно до того, як вектори існують у вищому вимірі, існує і крапковий добуток. Уявіть приклад того, як дитина знову штовхає поїзд. Припустимо, вона штовхає як вниз, так і під кутом до борту доріжки. У стандартній системі координат вектори сили та переміщення повинні бути представлені як тривимірні.
Впрозміри, точковий виріб визначається наступним чином:
\ bold {a \ cdot b} = \ overset {n} {\ underset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
Всі ті ж крапкові властивості дотепер застосовуються, і закон косинусів ще раз дає співвідношення:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
Де величина кожного вектора знаходиться за допомогою наступного, що знову узгоджується з теоремою Піфагора:
| \ жирний {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Як знайти крапковий виріб у трьох вимірах
Приклад 1:Точковий добуток особливо корисний, коли потрібно знайти кут між двома векторами. Наприклад, припустимо, ми хочемо визначити кут міжа= (2, 3, 2) іb= (1, 4, 0). Навіть якщо ви намалюєте ці два вектори в 3-просторі, може бути дуже важко обернути голову навколо геометрії. Але математика досить проста, використовуючи той факт, що:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ має на увазі \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ жирний {a \ cdot b}} {| \ жирний {a} || \ жирний {b} |} \ Великий)
Потім обчислюємо точковий добутокаіb:
\ жирний {a \ cdot b} = 2 \ times1 + 3 \ times4 + 2 \ times0 = 14
І обчислення величин кожного вектора:
| \ жирний {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
І нарешті підключивши все, отримуємо:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Великий (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Великий (\ frac {14} {4,12 \ раз 4,12} \ Великий) = \ упакований {34,4 \ градус}
Приклад 2:Позитивний заряд знаходиться в координатній точці (3, 5, 4) у тривимірному просторі. В якій точці вздовж лінії, спрямованої в напрямку вектораа= (6, 9, 5) чи найбільше електричне поле?
Рішення: З наших знань про те, як напруженість електричного поля співвідноситься з відстанню, ми знаємо, що справа на найближчій до позитивного заряду лінії - це місце, де поле буде найсильніший. З наших знань про крапкові вироби ми можемо здогадатися, що використання формули проекції тут має сенс. Ця формула повинна дати нам вектор, кінчик якого знаходиться саме в тій точці, яку ми шукаємо.
Нам потрібно обчислити:
\ text {Проекція} (3, 5, 4) \ text {на} \ bold {a} = \ Великий ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Великий) \ жирний {a}
Для цього спочатку давайте знайдемо |а|2:
| \ жирний {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Тоді крапковий добуток:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ раз6 + 5 \ раз9 + 4 \ раз5 = 83
Поділивши це на |а|2 дає 83/142 = 0,585. Потім помноживши цей скаляр наадає:
0,585 \ жирний {a} = 0,585 \ раз (6,9,5) = (3,51,5,27,2.93)
Отже, точка вздовж прямої, де поле найсильніше, дорівнює (3,51, 5,27, 2,93).