Розгадування таємниць електромагнетизму було одним із найбільших досягнень фізики на сьогоднішній день, і отримані уроки повністю закладені в рівняння Максвелла.
Джеймс Клерк Максвелл називає ці чотири елегантних рівняння, але вони є кульмінацією десятиліть праці багатьох фізиків, в тому числі Майкл Фарадей, Андре-Марі Ампер і Карл Фрідріх Гаус - які дають свої імена трьом з чотирьох рівнянь - і багато інші. Хоча сам Максвелл лише додав термін до одного з чотирьох рівнянь, він мав передбачення і розуміння зібрати найкращі роботи, зроблені за цією темою, і представити їх у спосіб, який досі використовується фізики сьогодні.
Багато-багато років фізики вважали, що електрика і магнетизм - це окремі сили та різні явища. Але завдяки експериментальній роботі таких людей, як Фарадей, ставало все більш зрозумілим, що вони насправді були двома сторонами те саме явище, і рівняння Максвелла представляють цю уніфіковану картину, яка і сьогодні є такою самою актуальною, як і в 19-му століття. Якщо ви збираєтесь вивчати фізику на вищих рівнях, вам обов’язково потрібно знати рівняння Максвелла та способи їх використання.
Рівняння Максвелла
Рівняння Максвелла такі як у диференціальній формі, так і в інтегральній формі. (Зверніть увагу, що хоча знання диференціальних рівнянь тут корисне, концептуальне розуміння можливе навіть без нього.)
Закон Гаусса про електроенергію
Диференціальна форма:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Цілісна форма:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Немає монопольного закону / Закон Магнетизму Гаусса
Диференціальна форма:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Цілісна форма:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Закон індукції Фарадея
Диференціальна форма:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
Цілісна форма:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
Закон Ампера-Максвелла / Закон Ампера
Диференціальна форма:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Цілісна форма:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Символи, використані в рівняннях Максвелла
У рівняннях Максвелла використовується досить великий вибір символів, і важливо розуміти, що це означає, якщо ви навчитеся їх застосовувати. Отже, ось розбір значень використовуваних символів:
B= магнітне поле
Е= електричне поле
ρ= густина електричного заряду
ε0= діелектрична проникність вільного простору = 8,854 × 10-12 м-3 кг-1 s4 A2
q= загальний електричний заряд (чиста сума позитивних і негативних зарядів)
𝜙B = магнітний потік
J= щільність струму
Я= електричний струм
c= швидкість світла = 2,998 × 108 РС
μ0 = проникність вільного простору = 4π × 10−7 Не застосовується2
Крім того, важливо знати, що ∇ - оператор del, крапка між двома величинами (X ∙ Y) показує скалярний добуток, напівжирним символом множення між двома величинами є векторний добуток (X × Y), що оператор del з крапкою називається «розбіжність» (наприклад, ∇ ∙ X= розбіжністьX= divX), а оператор del зі скалярним добутком називається curl (наприклад, ∇× Y= завитокY= завивкаY). Нарешті,Aв дAозначає поверхню закритої поверхні, для якої ви обчислюєте (іноді записується як dS), іsв дs- це дуже мала частина межі відкритої поверхні, для якої ви розраховуєте (хоча це іноді dл, посилаючись на нескінченно малий компонент лінії).
Виведення рівнянь
Першим рівнянням рівнянь Максвелла є закон Гаусса, і в ньому зазначено, що чистий електричний потік через a закрита поверхня дорівнює загальному заряду, що міститься всередині форми, поділеному на діелектричну проникність вільного простору. Цей закон можна вивести із закону Кулона, здійснивши важливий крок у вираженні закону Кулона через електричне поле та вплив, який він мав би на випробувальний заряд.
Друге з рівнянь Максвелла по суті еквівалентно твердженню про те, що "немає магнітних монополів". У ньому зазначено що чистий магнітний потік через замкнуту поверхню завжди буде дорівнювати 0, оскільки магнітні поля завжди є результатом a дипольний. Закон можна вивести із закону Біо-Саварта, який описує магнітне поле, що створюється струмовим елементом.
Третє рівняння - закон індукції Фарадея - описує, як змінюється магнітне поле створює напругу в петлі дроту або провідника. Спочатку це було отримано в результаті експерименту. Однак, враховуючи результат, що мінливий магнітний потік індукує електрорушійну силу (ЕРС або напругу) і, отже, електричний струм в петля дроту, і той факт, що ЕРС визначається як лінійний інтеграл електричного поля навколо ланцюга, закон легко поставити разом.
Четверте і останнє рівняння, закон Ампера (або закон Ампера-Максвелла, щоб надати йому належне за його внесок) описує, як магнітне поле генерується рухомим зарядом або мінливим електричним поле. Закон є результатом експерименту (і тому - як і всі рівняння Максвелла - насправді не був "похідним" у традиційному розумінні), але використовуючиТеорема Стоксає важливим кроком для одержання основного результату у формі, яка використовується сьогодні.
Приклади рівнянь Максвелла: закон Гаусса
Якщо бути відвертими, особливо якщо ви не зовсім впевнені у своєму векторному обчисленні, рівняння Максвелла виглядають досить лякаючими, незважаючи на те, наскільки вони компактні. Найкращий спосіб по-справжньому зрозуміти їх - пройти кілька прикладів їх використання на практиці, а закон Гаусса - найкраще місце для початку. Закон Гаусса є, по суті, більш фундаментальним рівнянням, яке виконує роботу закону Кулона, і воно є досить легко вивести з нього закон Кулона, враховуючи електричне поле, яке створюється точкою заряду.
Виклик зарядуq, ключовим моментом у застосуванні закону Гаусса є вибір правильної "поверхні" для дослідження електричного потоку. У цьому випадку добре працює сфера, яка має площу поверхніA = 4πр2, оскільки ви можете відцентрувати сферу на точковому заряді. Це величезна перевага для вирішення подібних проблем, оскільки тоді вам не потрібно інтегрувати різне поле по поверхні; поле буде симетричним навколо точкового заряду, і тому воно буде постійним по всій поверхні кулі. Отже, інтегральна форма:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Можна виразити як:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Зверніть увагу, щоЕадже електричне поле було замінено простою величиною, оскільки поле від точкового заряду просто пошириться однаково у всіх напрямках від джерела. Тепер ділення на площу поверхні кулі дає:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Оскільки сила пов'язана з електричним полем наЕ = F/q, деq- тестовий заряд,F = qE, і так:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
Де індекси були додані для розмежування двох платежів. Це закон Кулона, викладений у стандартній формі, показаний простим наслідком закону Гаусса.
Приклади рівнянь Максвелла: Закон Фарадея
Закон Фарадея дозволяє розрахувати електрорушійну силу в петлі дроту, що виникає внаслідок зміни магнітного поля. Простий приклад - це петля з дроту з радіусомр= 20 см, в магнітному полі, що збільшується за величиною відBi = 1 Т доBf = 10 Т в просторі ∆т= 5 с - яка індукована ЕРС у цьому випадку? Цілісна форма закону передбачає потік:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
що визначається як:
ϕ = BA \ cos (θ)
Ключовою частиною проблеми тут є пошук швидкості зміни потоку, але оскільки проблема досить проста, ви можете замінити часткову похідну простим “зміною” кожної величини. І інтеграл насправді просто означає електрорушійну силу, тому ви можете переписати закон індукції Фарадея як:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
Якщо ми припустимо, що петля дроту має свою нормаль, вирівняну до магнітного поля,θ= 0 ° і тому cos (θ) = 1. Це залишає:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}
Потім проблему можна вирішити, знайшовши різницю між початковим і кінцевим магнітним полем і площею петлі, наступним чином:
\ begin {align} \ text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0,2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0,23 \ text {V } \ end {вирівняно}
Це лише невелика напруга, але закон Фарадея застосовується однаково незалежно.
Приклади рівнянь Максвелла: Закон Ампера-Максвелла
Закон Ампера-Максвелла - останнє з рівнянь Максвелла, яке вам потрібно буде застосовувати регулярно. Рівняння повертається до закону Ампера за відсутності електричного поля, що змінюється, тому це найпростіший приклад для розгляду. За його допомогою можна отримати рівняння для магнітного поля, що виникає в результаті прямого дроту, що несе струмЯ, і цього базового прикладу достатньо, щоб показати, як використовується рівняння. Повний закон:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Але без змін електричного поля воно зменшується до:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Тепер, як і у випадку закону Гауса, якщо для поверхні вибрати коло з центром на петлі дроту, інтуїція передбачає, що результуюче магнітне поле буде симетричним, і тому ви можете замінити інтеграл простим добутком окружності петлі та напруженості магнітного поля, виїзд:
B × 2πr = μ_0 I
Поділивши на 2πрдає:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Що є прийнятим виразом для магнітного поля на відстанірв результаті прямого дроту, що несе струм.
Електромагнітні хвилі
Коли Максвелл зібрав свій набір рівнянь, він почав знаходити для них рішення, щоб допомогти пояснити різні явища в реальному світі, і прозріння, яке воно дало у світ, є одним з найважливіших результатів він отримані.
Оскільки мінливе електричне поле породжує магнітне поле (за законом Ампера), а змінне магнітне поле породжує електричного поля (за законом Фарадея), Максвелл розробив, що електромагнітна хвиля, що само поширюється, може бути можливо. Він використав свої рівняння, щоб знайти хвильове рівняння, яке описувало б таку хвилю, і визначив, що вона рухатиметься зі швидкістю світла. Це був своєрідний момент “еврики”; він зрозумів, що світло - це форма електромагнітного випромінювання, яка працює так само, як поле, яке він собі уявив!
Електромагнітна хвиля складається з хвилі електричного поля та хвилі магнітного поля, що коливаються вперед-назад, вирівняні під прямим кутом один до одного. Коливання електричної частини хвилі породжує магнітне поле, а коливання цієї частини, у свою чергу, знову створює електричне поле, постійно рухаючись у просторі.
Як і будь-яка інша хвиля, електромагнітна хвиля має частоту та довжину хвилі, і добуток їх завжди дорівнюєc, швидкість світла. Електромагнітні хвилі є навколо нас, і, крім видимого світла, інші довжини хвиль зазвичай називають радіохвилями, мікрохвилями, інфрачервоними, ультрафіолетовими, рентгенівськими та гамма-променями. Усі ці форми електромагнітного випромінювання мають ту саму основну форму, що пояснюється рівняннями Максвелла, але їх енергії змінюються залежно від частоти (тобто, вища частота означає вищу енергію).
Отже, для фізика саме Максвелл сказав: "Нехай буде світло!"