Будь то фігуристка, яка тягне її за руки і крутиться швидше, як це робить, або кішка, яка контролює, як швидко вона крутиться під час падіння, щоб забезпечити приземлення на ногах, концепція моменту інерції має вирішальне значення для фізики обертання руху.
В іншому випадку відомий як обертальна інерція, момент інерції є обертальним аналогом маси в другий із законів руху Ньютона, що описує тенденцію об’єкта чинити опір кутовому прискоренню.
Спочатку ця концепція може здатися не надто цікавою, але в поєднанні із законом збереження кутового імпульсу, його можна використовувати для опису багатьох захоплюючих фізичних явищ та прогнозування руху в широкому діапазоні ситуації.
Визначення моменту інерції
Момент інерції для об'єкта описує його стійкість до кутового прискорення, враховуючи розподіл маси навколо його осі обертання.
По суті, це кількісно визначає, наскільки важко змінити швидкість обертання об’єкта, чи означає це початок його обертання, зупинку або зміну швидкості вже обертається об’єкта.
Іноді це називають обертальною інерцією, і корисно думати про це як про аналог маси у другому законі Ньютона:Fчистий = ма. Тут масу об’єкта часто називають інерційною масою, і вона описує стійкість об’єкта до (лінійного) руху. Інерція обертання працює точно так само, як і при обертальному русі, і математичне визначення завжди включає масу.
Еквівалентний вираз другому закону обертального руху стосуєтьсякрутний момент (τ, обертальний аналог сили) до кутового прискоренняαі момент інерціїЯ:
\ tau = I \ alpha
Однак один і той же об'єкт може мати кілька моментів інерції, оскільки, хоча значна частина визначення стосується розподілу маси, він також відповідає розташуванню осі обертання.
Наприклад, тоді як момент інерції для стрижня, що обертається навколо його центру, дорівнюєЯ = ML2/ 12 (деМє масою іL- довжина стрижня), той самий стрижень, що обертається навколо одного кінця, має момент інерції, заданийЯ = ML2/3.
Рівняння для моменту інерції
Отже, момент інерції тіла залежить від його масиМ, його радіусР.та її вісь обертання.
В деяких випадках,Р.позначається якd, для відстані від осі обертання, а в інших (як і у стрижня в попередньому розділі) він замінюється довжиною,L. СимволЯвикористовується для моменту інерції і має одиниці кг м2.
Як і слід було очікувати, виходячи з того, що ви дізналися до цього часу, існує безліч різних рівнянь для моменту інерції, і кожне з них стосується певної форми та конкретної осі обертання. У всі моменти інерції термінМІСТЕР2 з'являється, хоча для різних форм перед цим терміном є різні дроби, а в деяких випадках може бути кілька термінів, підсумованих разом.
МІСТЕР2 складова - момент інерції для точкової маси на відстаніР.від осі обертання, і рівняння для конкретного твердого тіла будується як сума точкових мас або шляхом інтегрування нескінченної кількості малих точкових мас над об’єктом.
Хоча в деяких випадках може бути корисним вивести момент інерції об’єкта на основі простої арифметичної суми точкових мас або інтегруючи, на практиці є багато результатів для загальних форм і осей обертання, які ви можете просто використовувати, не потребуючи їх отримання спочатку:
Суцільний циліндр (вісь симетрії):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Суцільний циліндр (центральний діаметр осі або діаметр кругового перерізу в середині циліндра):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Суцільна куля (центральна вісь):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Тонка сферична оболонка (центральна вісь):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Обруч (вісь симетрії, тобто перпендикулярно до центру):
I = MR ^ 2
Обруч (вісь діаметра, тобто по діаметру кола, утвореного обручем):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Стрижень (центральна вісь, перпендикулярна довжині стрижня):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Стрижень (обертається навколо кінця):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Інерція обертання та вісь обертання
Розуміння того, чому існують різні рівняння для кожної осі обертання, є ключовим кроком до розуміння концепції моменту інерції.
Подумайте про олівець: ви можете обертати його, обертаючи навколо посередині, до кінця або скручуючи навколо центральної осі. Оскільки інерція обертання об’єкта залежить від розподілу маси навколо осі обертання, кожна з цих ситуацій відрізняється і вимагає окремого рівняння для її опису.
Ви можете отримати інстинктивне розуміння концепції моменту інерції, якщо масштабувати цей самий аргумент до 30-футового стовпа прапора.
Закрутити його кінцем в кінець було б дуже складно - якби ви взагалі могли цим керувати - тоді як закрутити полюс навколо його центральної осі було б набагато простіше. Це пов’язано з тим, що крутний момент сильно залежить від відстані від осі обертання та від 30 футів Приклад прапора, обертання його кінцем над кінцем включає кожен крайній кінець на відстані 15 футів від осі обертання.
Однак якщо ви крутите його навколо центральної осі, все досить близько до осі. Ситуація нагадує перенесення важкого предмета на відстані витягнутої руки проти тримаючи його близько до тіла, або керуючи важелем з кінця проти близько до точки опори.
Ось чому вам потрібно інше рівняння для опису моменту інерції для того самого об’єкта залежно від осі обертання. Вибрана вісь впливає на відстань частин тіла від осі обертання, хоча маса тіла залишається незмінною.
Використання рівнянь для моменту інерції
Ключем до обчислення моменту інерції для твердого тіла є навчання користуватися і застосовувати відповідні рівняння.
Розглянемо олівець з попереднього розділу, який обертається впритул навколо центральної точки вздовж його довжини. Хоча це не aідеальнострижень (наприклад, загострений наконечник порушує цю форму), його можна змоделювати як такий, щоб уникнути необхідності пройти повний момент виведення інерції для об'єкта.
Отже, моделюючи об’єкт як стрижень, ви б використали таке рівняння, щоб знайти момент інерції, поєднаний із загальною масою та довжиною олівця:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Більшою проблемою є пошук моменту інерції для складених об’єктів.
Наприклад, розглянемо дві кульки, з'єднані між собою стрижнем (який ми будемо розглядати як безмасовий для спрощення проблеми). М'яч один дорівнює 2 кг і розташований на відстані 2 м від осі обертання, а кулька два - 5 кг маси і на відстані 3 м від осі обертання.
У цьому випадку ви можете знайти момент інерції для цього складеного об’єкта, вважаючи кожну кульку точковою масою і працюючи з основного визначення, яке:
\ begin {align} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ sum _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ end {align}
За допомогою індексів просто розмежовувати різні об’єкти (тобто м’яч 1 та кульку 2). Тоді об’єкт із двома кулями мав би:
\ begin {align} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m}) ^ 2 + 5 \; \ text {kg} × (3 \; \ текст {м}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ текст {кг м} ^ 2 + 45 \; \ текст {кг м} ^ 2 \\ & = 53 \; \ текст {кг м} ^ 2 \ кінець {вирівняний}
Момент інерції та збереження моменту імпульсу
Імпульс кута (аналог обертання для лінійного імпульсу) визначається як добуток обертальної інерції (тобто моменту інерції,Я) об'єкта та його кутова швидкістьω), яка вимірюється в градусах / с або рад / с.
Ви, безсумнівно, будете знайомі із законом збереження лінійного імпульсу, і кутовий момент також зберігається таким же чином. Рівняння для моменту імпульсуL) є:
L = Iω
Думаючи про те, що це означає на практиці, пояснюється багато фізичних явищ, оскільки (за відсутності інших сил), чим більша інерція обертання об’єкта, тим менша його кутова швидкість.
Подумайте, що фігурист, що обертається з постійною кутовою швидкістю з витягнутими руками, і зауважте, що витягнуті руки збільшують радіусР.щодо якого розподіляється його маса, що призводить до більшого моменту інерції, ніж якби його руки були близько до тіла.
ЯкщоL1 розраховується з витягнутими руками, іL2, втягнувши руки, повинен мати однакове значення (оскільки кутовий момент зберігається), що станеться, якщо він зменшить свій момент інерції, намалювавши в руках? Його кутова швидкістьωзбільшується для компенсації.
Кішки виконують подібні рухи, щоб допомогти їм сісти на ноги при падінні.
Витягнувши ноги та хвіст, вони збільшують момент інерції та зменшують швидкість обертання, і навпаки, вони можуть втягувати ноги, щоб зменшити момент інерції та збільшити швидкість обертання. Вони використовують ці дві стратегії - разом з іншими аспектами свого "правильного рефлексу" - для забезпечення своїх ніг по-перше, і ви можете побачити різні фази згортання і розтягування на знімках, що проходять у зв’язку з часом посадка.
Момент інерції та обертової кінетичної енергії
Продовжуючи паралелі між лінійним рухом та обертальним рухом, об’єкти також мають кінетичну енергію обертання так само, як вони мають лінійну кінетичну енергію.
Подумайте про кулю, яка котиться по землі, як обертаючись навколо центральної осі, так і рухаючись вперед лінійно: загальна кінетична енергія кулі - це сума її лінійної кінетичної енергіїЕk та його кінетична енергія обертанняЕгниття. Паралелі між цими двома енергіями відображаються у рівняннях обох, пам’ятаючи, що об’єкт момент інерції - обертальний аналог маси, а її кутова швидкість - обертальний аналог лінійної швидкістьv):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Ви можете чітко бачити, що обидва рівняння мають абсолютно однакову форму, з відповідними обертальними аналогами, заміненими рівнянням кінетичної енергії обертання.
Звичайно, для обчислення кінетичної енергії обертання вам потрібно буде підставити відповідний вираз для моменту інерції об’єкта в простір дляЯ. Розглядаючи кульку та моделюючи об’єкт як суцільну сферу, рівняння в такому випадку:
\ begin {align} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ кінець {вирівняний}
Загальна кінетична енергія (Етот) - це сума і кінетична енергія кулі, тому ви можете написати:
\ begin {align} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { вирівняно}
Для 1-кг кульки, що рухається з лінійною швидкістю 2 м / с, радіусом 0,3 м і з кутовою швидкістю 2π рад / с, загальна енергія складе:
\ begin {align} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ текст {кг} × (0,3 \; \ текст {м}) ^ 2 × (2π \; \ текст {рад / с}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ текст {J} + 0,71 \; \ текст {J} \\ & = 2,71 \; \ текст {J} \ end {вирівняно}
Залежно від ситуації, об'єкт може мати лише лінійну кінетичну енергію (наприклад, кульку, що випала з висота, на яку не надається спін), або лише обертальна кінетична енергія (куля, що обертається, але залишається на місці).
Пам'ятайте, що це такусьогоенергія, яка зберігається. Якщо м'яч б'ється ногою об стіну без початкового обертання, і він відскакує з меншою швидкістю, але із наданим обертанням, а також енергією втрачаючи звук і тепло, коли вона вступила в контакт, частина початкової кінетичної енергії була передана обертальній кінетичній енергії, і тому вонане можеможливо рухатися так швидко, як це робилося до відскоку.