Кола є скрізь у реальному світі, саме тому їх радіуси, діаметри та окружність є важливими в реальному житті. Але є й інші частини кіл - сектори та кути, наприклад, - які також мають значення у повсякденних додатках. Приклади включають розміри секторів круглої їжі, таких як тістечка та пироги, кут, пройдений на колесі огляду, розмір шини до конкретного транспортного засобу і особливо розмір кільця для зачеплення або весілля. З цих і багатьох інших причин геометрія також має рівняння та розрахунки задач, що стосуються центральних кутів, дуг та секторів кола.
Що таке центральний кут?
Центральний кут визначається як кут, створений двома променями або радіусами, що випромінюють від центру кола, причому центр кола є вершиною центрального кута. Центральні кути особливо актуальні, коли справа доходить до рівномірного розподілу піци або будь-якої іншої їжі на основі кругової форми серед певної кількості людей. Скажімо, у вечірці є п’ятеро людей, де слід поділити велику піцу та великий торт. На який кут слід розділити і піцу, і торт, щоб забезпечити рівний шматочок для всіх? Оскільки в колі є 360 градусів, розрахунок стає 360 градусів, розділеним на 5, щоб отримати 72 градуси, так що кожен шматочок, будь то піци чи торта, матиме центральний кут, або тета (θ), розміром 72 градусів.
Визначення центрального кута за довжиною дуги
Дуга кола означає "частину" окружності кола. Отже, довжина дуги - це довжина цієї «частини». Якщо ви уявляєте скибочку піци, сектор може бути таким візуалізується як весь шматочок піци, але довжина дуги - це довжина зовнішнього краю кори для цього конкретний зріз. За довжиною дуги можна розрахувати центральний кут. Дійсно, одна формула, яка може допомогти у визначенні центрального кута, стверджує, що довжина дуги (дуг) дорівнює радіусу, кратному центральному куту, або
s = r × θ
де кут, тета, слід вимірювати в радіанах. Отже, щоб вирішити для центрального кута, тета, потрібно лише розділити довжину дуги на радіус, або
\ frac {s} {r} = θ
Для ілюстрації, якщо довжина дуги дорівнює 5,9, а радіус - 3,5329, то центральний кут стає 1,67 радіана. Інший приклад: якщо довжина дуги дорівнює 2, а радіус - 2, центральний кут стає 1 радіаном. Якщо ви хочете перетворити радіани в градуси, пам’ятайте, що 1 радіан дорівнює 180 градусам, поділеним на π, або 57,2958 градусів. І навпаки, якщо рівняння вимагає перетворити градуси назад у радіани, то спочатку помножте на π, а потім поділіть на 180 градусів.
Визначення центрального кута від секторної зони
Іншою корисною формулою для визначення центрального кута є область сектору, яку знову можна візуалізувати як скибочку піци. Цю конкретну формулу можна побачити двома способами. Перший має центральний кут, виміряний у градусах, так що площа сектора дорівнює π, кратному в квадраті радіуса, а потім помножується на величину центрального кута в градусах, поділену на 360 градусів. Іншими словами:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {центральний кут у градусах}} {360 \ text {градуси}} = \ text {область сектора}
Якщо центральний кут вимірюється в радіанах, формула замість цього стає:
\ text {область сектора} = r ^ 2 × \ frac {\ text {центральний кут у радіанах}} {2}
Перестановка формул допоможе визначити значення центрального кута, або тета. Розглянемо площу сектору 52,3 квадратних сантиметра радіусом 10 сантиметрів. Яким би був його центральний кут у градусах? Розрахунки розпочнуться з площі сектору 52,3 квадратних сантиметра, яка дорівнює:
\ frac {θ} {360 \ text {градуси}} × πr ^ 2
Оскільки радіус (р) дорівнює 10, все рівняння можна записати так:
\ frac {52,3} {100π} × 360
так що тета можна записати як:
\ frac {52.3} {314} × 360
Таким чином, остаточна відповідь стає центральним кутом 60 градусів.