Багатокутник - це будь-яка закрита двовимірна фігура з 3 або більше прямими (не вигнутими) сторонами, а 12-сторонній багатокутник відомий як дванадцятикутник. Правильний дванадцятикутник - це той, що має рівні сторони та кути, і можна отримати формулу для обчислення його площі. Неправильний дванадцятикутник має сторони різної довжини та різних кутів. Приклад - шестикутна зірка. Немає простого способу обчислити площу неправильної 12-гранної фігури, якщо ви випадково не нанесете її на графік і не зможете прочитати координати кожної з вершин. Якщо ні, найкраща стратегія - розділити фігуру на правильні фігури, для яких ви можете розрахувати площу.
Обчислення площі правильного 12-гранного многокутника
Щоб обчислити площу звичайного дванадцятикутника, вам потрібно знайти його центр, а найкращий спосіб це зробити - написати навколо нього коло, яке просто торкається кожної з його вершин. Центр кола - це центр дванадцятикутника, а відстань від центру фігури до кожної з її вершин - просто радіус кола (р). Кожна з 12 сторін фігури однакової довжини, тому позначте це черезs.
Вам потрібно ще одне вимірювання, і це довжина перпендикулярної лінії, проведеної від середини кожної сторони до центру 12-сторонній фігури. Цей рядок відомий як апофема. Позначимо його довжину черезм. Він розділяє кожну ділянку, утворену радіусовими лініями, на два прямокутні трикутники. Ви не знаєтем, але ви можете знайти це за допомогою теореми Піфагора.
12 радіусних ліній ділять коло, яке ви написали навколо дванадцятикутника, на 12 рівних ділянок, тож у центрі фігури кут, який робить кожна лінія з таким, що знаходиться поруч, дорівнює 30 градусам. Кожен з 12 перерізів, утворених радіусовими лініями, складається з пари прямокутних трикутників з гіпотенузоюрі один кут 15 градусів. Сторона, що прилягає до кута, дорівнюєм, тому ви можете знайти його, використовуючи r і синус кута.
\ sin (15) = \ frac {m} {r} \, \ text {і вирішити для} m \\ m = r × \ sin (15)
Тепер ви можете знайти площу кожного з рівнобедрених трикутників, вписаних у дванадцятикутник, тому що ви знаєте довжину основи - якаs- і висота,м. Площа кожного трикутника дорівнює
\ begin {align} \ text {area} & = \ frac {1} {2} × \ text {base} × \ text {height} \\ & = \ frac {1} {2} × s × m \\ & = 1/2 × (s × r × \ sin (15)) \ end {вирівняно}
Є 12 таких секцій, тому помножте на 12, щоб знайти загальну площу правильної 12-сторонній фігури:
\ text {Площа регулярного дванадцятикутника} = 6 × (s × r × \ sin (15))
Знаходження площі неправильного дванадцятикутника
Немає формули для знаходження площі неправильного дванадцятикутника, оскільки довжина сторін і кутів неоднакові. Навіть важко точно визначити центр. Найкраща стратегія - розділити фігуру на правильні фігури, обчислити площу кожної та додати їх.
Якщо фігура нанесена на графік, і ви знаєте координати вершин, існує формула, за допомогою якої можна обчислити площу. Якщо кожен пункт (п) визначається (хп, рп), і ви обходите фігуру для того, щоб, за годинниковою стрілкою або проти неї, отримати серію з 12 точок, площа така:
\ text {Площа} = \ frac {| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) +... + (x_ {11} y_ {12} - y_ {11} x_ {12}) + (x_ {12} y_1 - y_ {12} x_1) |} {2}