14 березня (3/14) - День Пі (не кажучи вже про день народження Альберта Ейнштейна), і це стало настільки важливою подією, що було офіційно визнано Палатою представників США в 2009 році.
Є багато способів відсвяткувати цю подію, починаючи від найпростішого та найцікавішого (випікання справжнього пирога із символом π на верхній частині) до більш математичних та цікавих. Тут, у Sciaching, ми будемо ніколи відмовляти вас готувати пиріг, але є багато інших унікальних занять, які можуть вам сподобатися під час випікання або після того, як ви з’їли скибочку або дві.
Хоча люди знали про пі вже понад 4000 років, одержання все кращих та кращих наближень для нескінченно розширюваних десяткових знаків було історично одним з основних завдань, яке взяли математики. Звичайно, ви ніколи не дійдете до 31 трильйони на сьогодні відомі цифри, але ви можете використовувати деякі унікальні методи, щоб отримати досить близьке наближення до відомого числа.
Метод прямокутника
Цей підхід є більш практичним, ніж інші в цьому списку, тому вам знадобляться компас і олівець, аркуш паперу чи картки, лінійка, ножиці та транспортир. Спочатку намалюйте коло на листівці, переконавшись, що ви знаєте радіус. Далі розділіть коло на 12 рівних секторів (як скибочки піци) і виберіть один із них, щоб знову розділити на дві рівні частини, щоб отримати загалом 13 секторів.
Виріжте коло і виріжте сектори. Переставте сектори у форму прямокутника, маючи прямий край менших секторів на будь-якому з них короткий край, а тонкий кінець цільної деталі акуратно прорізаний між вигнутими кінцями двох сусідніх штук. Висота прямокутника - це радіус кола, а ширина - половина окружності вихідного кола.
Оскільки окружність = 2 × π × радіус, маємо:
\ text {Ширина} = π × \ text {радіус}
І ви можете оцінити pi за допомогою:
π = \ frac {\ text {ширина}} {\ text {радіус}}
Отже, все, що вам потрібно зробити, це виміряти довгу сторону прямокутника і розділити на радіус, щоб отримати наближення для pi.
Наближення багатокутника Архімеда для Pi
Архімед використовував простий, але потужний метод для наближення значення pi, по суті оточуючи коло двома багатокутниками, один що знаходиться всередині, а інший поза лінією кола. Окружність кола повинна бути між колом цих двох багатокутників, і ви можете розробити pi на основі цього. Наближення стає кращим і кращим, коли ви додаєте більше сторін до багатокутників (див. Приклад "Ресурси").
Ви можете використовувати один із двох методів, щоб зробити це для себе. Найпростіше, ви можете намалювати для себе багатокутники або скористатися тригонометрією, щоб знайти або буквально виміряти окружність, а потім поділити результат на 2_r_ (тобто в 2 рази більше радіуса кола), щоб знайти межі для pi (при цьому внутрішня форма дає мінімум, а зовнішня - максимум.
В якості альтернативи використовуйте просту формулу на основі кола діаметром 1 (тобто р = 1/2):
π = \ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) n
Де θ - кут в центрі одного з трикутних ділянок фігури, і п - кількість сторін. Отже, якщо ви використовуєте 20-сторонній багатокутник, ви просто ділите 360 ° (повне коло) на 20, щоб знайти θ.
Голка Буфона
Одним з найбільш винахідливих методів оцінки пі називається голка Буффона, названа на честь французького філософа Жоржа-Луї Леклерка, графа де Буффона, який відкрив цей підхід. Дістаньте аркуш паперу і намалюйте на ньому набір рівномірно розташованих паралельних ліній з відстанню між ними, яку ми назвемо d, потім скиньте на папірець багато паличок. Ключем до цього підходу є використання палиць довжиною л це менше відстані між лініями, тому, якщо ви використовуєте сірники, вам слід подбати про те, щоб розділити рядки більше, ніж довжина сірника.
Ви можете оцінити pi на основі:
π = \ frac {2ls} {кд}
де л і d такі, як визначено вище, s - загальна кількість паличок, які ви впустили на папір, і c - кількість паличок, які перетинають лінію. Це статистичний підхід до пошуку відповіді, тому чим більше паличок ви впустите, тим кращою буде оцінка. Це насправді форма моделювання Монте-Карло для знаходження значення pi.
Якщо це здається великою роботою (і прибиранням!), Існує онлайн-версія, яку ви можете використовувати для імітації експерименту (див. Ресурси).