Aвекторце величина, яка має як величину, так і напрямок, пов’язані з нею. Це відрізняється від aскаляркількість, яка відповідає лише величині. Швидкість є прикладом векторної величини. Він має як величину (як швидко щось рухається), так і напрямок (напрямок, в якому рухається).
Вектори часто малюються як стрілки. Довжина стрілки відповідає величині вектора, а точка стрілки вказує напрямок.
Існує два способи роботи із додаванням і відніманням вектора. Перший - графічно, маніпулюючи діаграмами стрілок самих векторів. Другий - математично, що дає точні результати.
Графічне додавання та віднімання вектора в одному вимірі
Додаючи два вектори, ви розміщуєте хвіст другого вектора на кінчику першого вектора, зберігаючи орієнтацію вектора.результуючий векторявляє собою вектор, який починається з хвоста першого вектора і вказує прямою лінією на кінчик другого вектора.
Наприклад, розгляньте можливість додавання векторівAіBякі вказують в одному напрямку вздовж прямої. Ми розміщуємо їх "кінчиком до хвоста" і результуючим вектором,C., вказує в одному напрямку і має довжину, яка є сумою довжинAіB.
Віднімання векторів в одному вимірі - це, по суті, те саме, що додавання, за винятком того, що ви «перевертаєте» другий вектор. Це безпосередньо випливає з того, що віднімання - це те саме, що додавання мінуса.
Математичне додавання та віднімання вектора в одному вимірі
При роботі в одному вимірі напрямок вектора може бути позначений знаком. Ми вибираємо один напрямок як позитивний напрямок (як правило, “вгору” або “праворуч” вибираємо як позитивний), і будь-який вектор, що вказує в цьому напрямку, призначаємо як позитивну величину. Будь-який вектор, спрямований у негативному напрямку, є від’ємною величиною. Додаючи або віднімаючи вектори, додайте або відніміть їх величини за допомогою відповідних знаків.
Припустимо, у попередньому розділі векторAмала величину 3 і векторBмав величину 5. Тоді результуючий векторC = A + B =8, вектор величини 8, що вказує в позитивному напрямку, і результуючий векторD = A - B =-2, вектор величини 2, спрямований у негативному напрямку. Зауважте, що це узгоджується з графічними результатами попереднього періоду.
Порада: Будьте обережні, додаючи лише вектори одного типу: швидкість + швидкість, сила + сила тощо. Як і вся математика у фізиці, одиниці повинні збігатися!
Графічне додавання та віднімання вектора у двох вимірах
Якщо перший і другий вектор не знаходяться на одній лінії в декартовому просторі, ви можете використовувати один і той же метод «від кінчика до хвоста», щоб додати або відняти їх. Щоб додати два вектори, просто уявіть, як підняли другий і приклали його хвіст до кінчика першого, зберігаючи орієнтацію, як показано. Отриманий вектор - це стрілка, що починається у хвоста першого вектора і закінчується на кінчику другого вектора:
Як і в одному вимірі, віднімання одного вектора з іншого еквівалентно перегортанню та додаванню. Графічно це виглядає так:
•••Дана Чен | Наукове
Примітка: Іноді додавання векторів відображається графічно, складаючи хвости двох векторів додавання разом і створюючи паралелограм. Тоді результуючий вектор є діагоналлю цього паралелограма.
Математичне додавання та віднімання вектора у двох вимірах
Для математичного додавання та віднімання векторів у двох вимірах виконайте такі дії:
Розкладіть кожен вектор нах-компонент, який іноді називають горизонтальним компонентом, і aр-компонент, який іноді називають вертикальним компонентом, використовуючи тригонометрію. (Зверніть увагу, що компоненти можуть бути як негативними, так і позитивними, залежно від того, в який бік спрямований вектор)
Додайтех-компоненти обох векторів разом, а потім додаємор-компоненти обох векторів разом. Цей результат дає вамхіркомпоненти результуючого вектора.
Величину результуючого вектора можна знайти за допомогою теореми Піфагора.
Напрямок результуючого вектора можна знайти за допомогою тригонометрії за допомогою функції зворотної дотичної. Цей напрямок, як правило, задається як кут відносно додатногох-вісь.
Тригонометрія у векторному додаванні
Згадайте зв’язок між сторонами та кутами прямокутного трикутника з тригонометрії.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ text {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ text {} \\ \ tan (\ тета) = \ frac {b} {a}
Теорема Піфагора:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Рух снаряда надає класичні приклади того, як ми можемо використовувати ці відношення як для декомпозиції вектора, так і для визначення кінцевої величини та напрямку вектора.
Розглянемо двох людей, які грають улов. Припустимо, вам кажуть, що м’яч кидається з висоти 1,3 м зі швидкістю 16 м / с під кутом 50 градусів з горизонталлю. Для того, щоб розпочати аналіз цієї проблеми, вам потрібно буде розкласти цей початковий вектор швидкості нахіркомпоненти, як показано:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ раз \ cos (50) = 10,3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ times \ sin (50) = 12,3 \ текст {м / с}
Якщо вловлювач пропустить м’яч і він впаде об землю, з якою остаточною швидкістю він вдарить?
За допомогою кінематичних рівнянь ми можемо визначити, що кінцевими компонентами швидкості кулі є:
v_ {xf} = 10,3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13,3 \ text {m / s}
Теорема Піфагора дозволяє нам знайти величину:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ text {м / с}
А тригонометрія дозволяє визначити кут:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Великий (\ frac {-13.3} {10.3} \ Великий) = - 52,2 \ градус
Приклад додавання та віднімання вектора
Розглянемо автомобіль, який з’їжджає за кут. Припустимоviбо машина вх-напрям з величиною 10 м / с, іvfзнаходиться під кутом 45 градусів з додатнимх-вісь з величиною 10 м / с. Якщо ця зміна руху відбувається за 3 секунди, якою буде величина та напрямок прискорення автомобіля при повороті?
Нагадаємо, що прискоренняа- векторна величина, яка визначається як:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Деvfіvi- кінцева та початкова швидкості відповідно (а отже, також є векторними величинами).
Для того, щоб обчислити векторну різницюvf - vi,спочатку треба розкласти початкову та кінцеву вектори швидкості:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7,07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7,07 \ text {м / с}
Потім віднімаємо фіналхіркомпоненти від початковогохіркомпоненти для отримання компонентівvf - vi:
Потім віднімаємохіркомпоненти:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7,07 \ текст {м / с}
Потім розділіть кожен за часом, щоб отримати компоненти вектора прискорення:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {m / s} ^ 2
За допомогою теореми Піфагора знайдіть величину вектора прискорення:
a = \ sqrt {(- 0,977) ^ 2 + (2,36) ^ 2} = 2,55 \ текст {м / с} ^ 2
Нарешті, використовуйте тригонометрію, щоб знайти напрямок вектора прискорення:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Великий (\ frac {2,36} {- 0,977} \ Великий) = 113 \ градус