Фізики порівнюють моменти інерції для обертаються предметів, щоб визначити, які з них буде важче прискорити або уповільнити. Це стосується реальних ситуацій, таких як з’ясування, які об’єкти будуть швидше котитися в гонці.
Факторами, що змінюють момент інерції об'єкта, є маса, розподіл маси - визначається формою та радіусом - і вісь обертання, на якій він обертається.
Моменти інерції для спільних об’єктів
Ця діаграма показує рівняння моменту інерції для кількох загальних фігур, що обертаються навколо різних осей обертання.
Порівняння моментів інерції
Ось кілька прикладів фізичних задач, які вимагають використання моментів інерції для порівняння різних об’єктів.
1. Що з переліченого буде найпростіше почати крутити: 7-кілограмова порожниста куля радіусом 0,2 м або 10-кг суцільна куля такого ж радіуса?
Почніть з пошуку моментів інерції для кожного об’єкта. Згідно з таблицею, рівняння для aпорожниста сфераце:I = 2 / 3мр2, і рівняння для aтверда сфераєI = 2 / 5мр2.
Підставимо задані маси та радіуси:
Порожниста сфера: I = 2/3 (7 кг) (0,2 м)2 = 0.19 кгм2
Тверді сфери: I = 2/5 (10 кг) (0,2 м)2 = 0.16 кгм2
Момент інерції єменше для твердої кулі, так воно і буденайпростіше почати крутитися.
2. Яким чином найважче обертати олівець: приблизно довжиною, навколо центру або кінця над кінцем? Припустимо, олівець має довжину 10 см (0,1 м) і радіус перерізу 3 мм (0,003 м).
У цьому випадку маса олівця не має значення для порівняння, оскільки він не змінюється.
Щоб визначити, які рівняння застосовуються, наблизьте форму олівця як циліндра.
Тоді три необхідні моменти рівнянь інерції:
Циліндр про його довжину(вісь проходить через цілу річ, від кінчика до гумки, отже радіус до осі обертанняєйого радіус перерізу):
I = \ frac {1} {2} mr ^ 2 = \ frac {1} {2} м (0,003) ^ 2 = 0,0000045м
Циліндр навколо його центру(утримується посередині, тому радіус його обертання дорівнюєполовина його довжини):
I = \ frac {1} {12} mr ^ 2 = \ frac {1} {12} м (0,05) ^ 2 = 0,0002083м
Циліндр навколо його кінця(утримується кінчиком або гумкою, тому радіус до осі обертанняєйого довжина):
I = \ frac {1} {3} mr ^ 2 = \ frac {1} {3} м (0,1) ^ 2 = 0,003333 м
Чим вище момент інерції об’єкта, тим важче почати (або зупинити) його обертання.Оскільки кожне значення множиться на одне і те жм, чим більше значення дробу, помножене на r2, тим вищим буде момент інерції. У цьому випадку 0,0033333> 0,0002083> 0,0000045, так воно і єважче обертати олівець навколо його кінцяніж навколо інших двох осей.
3. Який об’єкт досягне спочатку дна пандуса, якщо всі вони мають однакову масу та радіус і всі вони випущені з вершини одночасно: обруч, циліндр чи суцільна куля? Ігноруйте тертя.
Ключем до вирішення цієї проблеми є застосування розуміннязбереження енергії. Якщо всі предмети мають однакову масу і починаються з однакової висоти, вони повинні починатися з однакової кількостігравітаційна потенційна енергія. Цезагальна енергіявони можуть перетворити в кінетичну енергію і рухатися вниз по пандусу.
Оскільки предмети котяться вниз по пандусу, вони повинні перетворювати свою початкову потенційну енергію в обидваобертальна та лінійна кінетичні енергії.
Ось кришка: чим більше енергії від цього загального пирога потрібно об’єктупочинайте крутитися, тим менше для нього буде доступнолінійний рух. Це означаєчим легше отримати предмет, що котиться, тим швидше він буде рухатися лінійно вниз по рампі, виграючи гонку.
Тоді, оскільки всі маси та радіуси однакові, просто порівняння дробів перед кожним моментом рівняння інерції відкриває відповідь:
Тверда сфера: I =2/5Містер2
Обруч навколо осі: Я = пан2
Твердий циліндр про його довжину: I =1/2Містер2
Від найменшого до найбільшого моменту інерції, а отжепершим до останнього, щоб дійти до дна: куля, циліндр, обруч.
