Ротаційна кінематика: що це і чому це важливо (з / рівняннями та прикладами)

Кінематика - математична галузь фізики, яка використовує рівняння для опису руху предметів (зокрема їхтраєкторії) без посилання на сили.

Тобто ви можете просто підключити різні числа до набору чотирьох кінематичних рівнянь, щоб знайти будь-які невідомі в ці рівняння, не потребуючи знань фізики, що лежить в основі цього руху, покладаючись лише на вашу алгебру навички.

Подумайте про «кінематику» як про комбінацію «кінетики» та «математики» - іншими словами, математики руху.

Кінематика обертання - саме це, але вона конкретно стосується об’єктів, що рухаються круговими шляхами, а не горизонтально чи вертикально. Як і об'єкти у світі поступального руху, ці обертаються об'єкти можна описати з точки зору їх переміщення, швидкості та прискорення з часом, хоча деякі змінні неодмінно змінюються, щоб врахувати основні відмінності між лінійними та кутовими руху.

Насправді дуже корисно одночасно вивчити основи лінійного руху та обертального руху або, принаймні, ознайомитись із відповідними змінними та рівняннями. Це не для того, щоб пригнітити вас, а натомість має підкреслити паралелі.

Звичайно, важливо пам’ятати, вивчаючи ці „типи” руху в просторі, що переклад та обертання далеко не взаємовиключні. Насправді, більшість рухомих об’єктів у реальному світі демонструють поєднання обох типів руху, причому один з них часто не видно з першого погляду.

Оскільки "швидкість" зазвичай означає "лінійна швидкість", а "прискорення" означає "лінійне прискорення", якщо не вказано інше, доречно переглянути кілька простих прикладів основного руху.

Лінійний рух буквально означає рух, обмежений одним рядком, якому часто присвоюється змінна "х". Проблеми руху снаряда включають як x-, так і y-виміри, а гравітація є єдиною зовнішньою силою (зауважте, що ці проблеми описуються як такі, що виникають у тривимірному світі, наприклад, звільняється... ”).

Зверніть увагу, що масамне вводить будь-яких рівнянь у кінематичні рівняння, оскільки вплив сили тяжіння на рух об’єктів є незалежно від їх маси, а такі величини, як імпульс, інерція та енергія, не є частиною жодних рівнянь руху.

Оскільки обертальний рух передбачає вивчення кругових шляхів (у нерівномірних, а також рівномірних кругових рух), а не за допомогою вимірювачів для опису переміщення об'єкта, ви використовуєте радіани або градуси натомість.

На поверхні радіан є незграбною одиницею, перекладаючи до 57,3 градусів. Але одна поїздка по колу (360 градусів) визначається як 2π радіанів, і з причин, які ви збираєтесь побачити, це виявляється зручним при вирішенні проблем у деяких випадках.

• Відносиниπ рад = 180 градусівможе використовуватися для легкого перетворення між обома одиницями виміру.

Можуть бути проблеми, які включають кількість обертів за одиницю часу (об / хв або об / хв). Пам'ятайте, що кожен оберт становить 2π радіанів або 360 градусів.

Вимірювання поступальної кінематики або одиниці вимірювання мають обертальні аналоги. Наприклад, замість лінійної швидкості, яка описує, наприклад, як далеко куля котиться прямолінійно за заданий інтервал часу, куляобертальнийабокутова швидкістьописує швидкість обертання цієї кулі (на скільки вона обертається в радіанах або градусах за секунду).

Тут головне пам’ятати, що кожна поступальна одиниця має обертальний аналог. Навчання математичному та концептуальному співвідношенню „партнерських” вимагає невеликої практики, але здебільшого це питання простої заміни.

Лінійна швидкістьvвизначає як величину, так і напрямок перекладу частинки; кутова швидкістьω(грецька буква омега) представляє його особливу швидкість, яка полягає саме в тому, наскільки швидко обертається об'єкт в радіанах за секунду. Аналогічним чином, швидкість зміниω, кутове прискорення, задаєтьсяα(альфа) в рад / с².

Значенняωіαоднакові для будь-якої точки на твердому об'єкті, незалежно від того, виміряні вони на відстані 0,1 м від осі обертання або на відстані 1000 метрів, оскільки це лише те, наскільки швидкий кутθзміни, які мають значення.

Однак існують тангенціальні (і, отже, лінійні) швидкості та прискорення у більшості ситуацій, коли видно величини обертання. Дотичні величини обчислюються множенням кутових величин нар, відстань від осі обертання:v_т​ = ​ωrіα​​_т​ = ​α​​р.​

Тепер, коли аналогії вимірювань між обертальним та лінійним рухами зведено в квадрат за допомогою введення нових кутових доданків, вони можуть бути використані для переписування чотири класичних рівняння поступальної кінематики з точки зору обертальної кінематики, лише з дещо різними змінними (літери в рівняннях, що представляють невідоме кількості).

У кінематиці є чотири основних рівняння, а також чотири основні змінні: позиція (х​, ​рабоθ), швидкість (vабоω), прискорення (аабоα) і часут. Яке рівняння ви оберете, залежить від того, які величини невідомо для початку.

​- [вставити таблицю рівнянь лінійної / поступальної кінематики, узгоджених з їх обертальними аналогами]​

Наприклад, скажімо, вам кажуть, що рука машини прокотилася через кутове переміщення 3π / 4 радіана з початковою кутовою швидкістюω₀0 рад / с і остаточна кутова швидкістьωπ рад / с. Скільки часу тривав цей рух?

Хоча кожне поступальне рівняння має обертальний аналог, зворотне не зовсім вірне через доцентрове прискорення, яке є наслідком тангенціальної швидкостіv_ті вказує до осі обертання. Навіть якщо швидкість частинки, яка обертається навколо центру мас, не змінюється, це означає прискорення, оскільки напрямок вектора швидкості завжди змінюється.

1. Тонкий стрижень, класифікований як тверде тіло довжиною 3 м, обертається навколо осі навколо одного кінця. Він рівномірно прискорюється від відпочинку до 3π рад / с² протягом 10 с.

а) Яка середня кутова швидкість і кутове прискорення за цей час?

Як і при лінійній швидкості, просто розділіть (ω₀+​ ​ω) на 2, щоб отримати середню кутову швидкість: (0 + 3π с^-1)/2 = ​1.5​​π​ ​s^-1​.

• Радіани - це безрозмірна одиниця, тому в рівняннях кінематики кутова швидкість виражається як s^-1.

Середнє прискорення заданоω=ω₀+ αt, абоα= (3π с^-1/ 10 с) =0,3π с^-2​.

б) Скільки повних обертів робить стрижень?

Оскільки середня швидкість становить 1,5π с^-1 і стрижень обертається протягом 10 секунд, він рухається в цілому 15π радіанів. Оскільки один оборот становить 2π радіанів, це означає (15π / 2π) = 7,5 оборотів (сім повних революцій) у цій проблемі.

в) Яка тангенціальна швидкість кінця стрижня в момент часу t = 10 с?

Оскількиv_т​ = ​ωr, іωв момент часу t = 10 дорівнює 3π с^-1, ​v_т= (3π с^-1) (3 м) =9π м / с.​

​Явизначається як момент інерції (також називаєтьсядругий момент площі) у обертальному русі, і це аналогічно масі для обчислювальних цілей. Таким чином, виявляється, де маса з'явиться у світі лінійного руху, мабуть, найголовніше при обчисленні моменту імпульсуL. Це продуктЯі​ω​,і є вектором з напрямком, таким же, як​ω​.​

​Я = пан² для точкової частинки, але в іншому випадку це залежить від форми об'єкта, що обертається, а також від осі обертання. Див. Ресурси для зручного списку значеньЯдля загальних форм.

Маса відрізняється тим, що насправді величина в кінематиці обертання, до якої вона відноситься, момент інерціїміститьмаса як компонент.