Рівняння кінематики описують рух об'єкта, що зазнає постійного прискорення. Ці рівняння пов’язують змінні часу, положення, швидкості та прискорення рухомого об’єкта, дозволяючи вирішити будь-яку з цих змінних, якщо інші відомі.
Нижче наведено зображення об’єкта, що зазнає постійного прискореного руху в одному вимірі. Змінна т для часу, позиція є х, швидкість v і прискорення а. Індекси i і f означати "початковий" та "кінцевий" відповідно. Передбачається, що т = 0 ат хi і vi.
(Вставити зображення 1)
Список кінематичних рівнянь
Існує три основні кінематичні рівняння, перелічені нижче, які застосовуються при роботі в одному вимірі. Ці рівняння:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + at \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Примітки щодо кінематичних рівнянь
- Ці рівняння працюють лише з постійним прискоренням (яке може бути нульовим у разі постійної швидкості).
- Залежно від того, яке джерело ви прочитали, кінцеві кількості можуть не мати індексу f, та / або може бути представлений у позначенні функції як x (t) - читати “х як функція часу "або"х вчасно т”- і v (t). Зауважте, що x (t) не означає х помножений на т!
-
Іноді кількість хf - хi написано
Δx, що означає «зміна в х, "Або навіть просто як d, що означає переміщення. Всі вони рівнозначні. Положення, швидкість і прискорення є векторними величинами, тобто вони мають напрямок, пов'язаний з ними. В одному вимірі напрямок, як правило, позначається знаками - позитивні величини знаходяться в позитивному напрямку, а негативні - у негативному. Індекси: "0" може використовуватися для початкового положення та швидкості замість i. Це "0" означає "в т = 0, "і х0 і v0 зазвичай вимовляються як "х-нуль" і "в-нічого". * Тільки одне з рівнянь не включає час. При виписуванні даності та визначенні, яке рівняння використовувати, це є ключовим!
Особливий випадок: Вільне падіння
Рух вільного падіння - це рух об’єкта, що прискорюється лише завдяки силі тяжіння за відсутності опору повітря. Застосовуються ті самі кінематичні рівняння; однак, значення прискорення біля поверхні Землі відомо. Величина цього прискорення часто представлена g, де g = 9,8 м / с2. Напрямок цього прискорення вниз, до поверхні Землі. (Зверніть увагу, що деякі джерела можуть наближатися g як 10 м / с2, а інші можуть використовувати значення з точністю до двох знаків після коми.)
Стратегія вирішення проблем для задач кінематики в одному вимірі:
Накресліть схему ситуації та виберіть відповідну систему координат. (Згадайте, що х, v і а - це всі векторні величини, тому, призначаючи чіткий позитивний напрямок, буде простіше відстежувати знаки.)
Напишіть список відомих величин. (Остерігайтеся, що іноді пізнання не є очевидним. Шукайте такі фрази, як "починається з відпочинку", що означає це vi = 0, або "вдаряється об землю", що означає, що хf = 0 тощо).
Визначте, яку величину запитання хоче вам знайти. Що невідомого ви вирішите?
Виберіть відповідне кінематичне рівняння. Це буде рівняння, яке містить вашу невідому величину разом із відомими величинами.
Розв’яжіть рівняння невідомої величини, потім підключіть відомі значення і обчисліть остаточну відповідь. (Будьте обережні щодо одиниць! Іноді перед обчисленням потрібно буде перетворити одиниці.)
Приклади одновимірної кінематики
Приклад 1: Реклама стверджує, що спортивний автомобіль може пройти від 0 до 60 миль / год за 2,7 секунди. Яке прискорення цього автомобіля в м / с2? Як далеко він проїжджає за ці 2,7 секунди?
Рішення:
(Вставити зображення 2)
Відомі та невідомі кількості:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
Перша частина питання вимагає вирішення невідомого прискорення. Тут ми можемо використати рівняння №1:
v_f = v_i + at \ означає a = \ frac {(v_f-v_i)} t
Однак перед тим, як ми підключаємо цифри, нам потрібно перевести 60 миль / год в м / с:
60 \ скасувати {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0,477 \ text {m / s}} {\ скасувати {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26,8 \ text {m / s}
Отже, прискорення тоді:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ підкреслення {\ bold {9.93} \ text {m / s} ^ 2}
Для того, щоб дізнатись, наскільки далеко це вдається за цей час, ми можемо використати рівняння №2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 при ^ 2 = \ frac 1 2 \ помножено на 9,93 \ помножено на 2,7 ^ 2 = \ підкреслене {\ жирне {36,2} \ текст {m}}
Приклад 2: М’яч підкидається вгору зі швидкістю 15 м / с з висоти 1,5 м. Як швидко це відбувається, коли падає на землю? Скільки часу потрібно, щоб вдаритися об землю?
Рішення:
(Вставити зображення 3)
Відомі та невідомі кількості:
x_i = 1,5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9,8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
Для вирішення першої частини ми можемо використати рівняння №3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ передбачає v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Усе вже є в послідовних одиницях, тому ми можемо підключити значення:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9,8) (0-1,5)} = \ pm \ sqrt {254,4} \ приблизно \ pm16 \ text {м / с}
Тут є два рішення. Який з них правильний? З нашої діаграми ми бачимо, що кінцева швидкість повинна бути від’ємною. Тож відповідь така:
v_f = \ підкреслення {\ bold {-16} \ text {m / s}}
Для вирішення часу ми можемо використовувати рівняння №1 або рівняння №2. Оскільки з рівнянням №1 простіше працювати, ми скористаємось ним:
v_f = v_i + на \ означає t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ приблизно \ підкреслення {\ bold {3.2} \ text {s }}
Зверніть увагу, що відповідь на першу частину цього питання не становила 0 м / с. Хоча це правда, що після того, як куля приземлиться, вона матиме 0 швидкості, це питання хоче знати, наскільки швидко вона рухається за ту частку секунди до удару. Як тільки куля контактує з землею, наші кінематичні рівняння вже не застосовуються, оскільки прискорення не буде постійним.
Кінематичні рівняння руху снаряда (двовимірні)
Снаряд - це об’єкт, що рухається у двох вимірах під впливом сили тяжіння Землі. Його шлях є параболою, оскільки єдине прискорення відбувається завдяки силі тяжіння. Кінематичні рівняння для руху снаряда мають дещо інший вигляд від перерахованих вище кінематичних рівнянь. Ми використовуємо той факт, що компоненти руху, перпендикулярні один одному - наприклад, горизонтальні х напрямку і вертикалі р напрямок - незалежні.
Стратегія вирішення проблем для задач кінематики руху снаряда:
Накресліть схему ситуації. Як і при одновимірному русі, корисно намалювати сценарій і вказати систему координат. Замість використання ярликів х, v і а для положення, швидкості та прискорення нам потрібен спосіб позначення руху в кожному вимірі окремо.
Для горизонтального напрямку це найпоширеніше х для посади і vх для х-складової швидкості (зауважте, що прискорення дорівнює 0 у цьому напрямку, тому нам не потрібна змінна для нього.) У р напрямку, найпоширенішим є використання р для посади і vр для y-компонента швидкості. Прискорення можна або позначити ар або ми можемо використати той факт, що ми знаємо, що таке прискорення завдяки силі тяжіння g в негативному напрямку у, і просто використовуйте це замість цього.
Напишіть список відомих і невідомих величин, розділивши задачу на два розділи: вертикальний та горизонтальний рух. За допомогою тригонометрії знайдіть x- та y-компоненти будь-яких векторних величин, які не лежать уздовж осі. Це може бути корисно перерахувати це у дві колонки:
(вставити таблицю 1)
Примітка: Якщо швидкість дається як величина разом з кутом, Ѳ, над горизонталлю, потім використовуйте векторне розкладання, vх= vcos (Ѳ) і vр= vsin (Ѳ).
Ми можемо розглянути наші три кінематичні рівняння раніше і пристосувати їх до напрямків x та y відповідно.
X напрямок:
x_f = x_i + v_xt
Напрямок Y:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2g (y_f - y_i)
Зверніть увагу, що прискорення в р напрямок -g, якщо ми вважаємо, що вгору додатний. Поширеною помилкою є те, що g = -9,8 м / с2, але це неправильно; g сама по собі просто величина прискорення: g = 9,8 м / с2, тому нам потрібно вказати, що прискорення від’ємне.
Вирішіть одне невідоме в одному з цих вимірів, а потім підключіть спільне для обох напрямків. Хоча рух у двох вимірах є незалежним, він відбувається в одному часовому масштабі, тому змінна часу однакова в обох вимірах. (Час, який потрібно кульці, щоб здійснити свій вертикальний рух, такий самий, як і час, який потрібно, щоб здійснити його горизонтальний рух.)
Приклади кінематики руху снаряда
Приклад 1: Снаряд запускається горизонтально зі скелі висотою 20 м з початковою швидкістю 50 м / с. Скільки часу потрібно, щоб вдаритися об землю? Як далеко від основи скелі він приземляється?
(вставити зображення 4)
Відомі та невідомі кількості:
(вставити таблицю 2)
Ми можемо знайти час, необхідний для удару об землю, використовуючи друге рівняння вертикального руху:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ має на увазі t = \ sqrt {\ frac {(2 \ разів 20)} g} = \ підкреслення {\ bold {2.02} \ text {s} }
Потім, щоб знайти, де він сідає, хf, ми можемо використати рівняння горизонтального руху:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ підкреслення {\ bold {101} \ text {s}}
Приклад 2: Куля запускається зі швидкістю 100 м / с від рівня землі під кутом 30 градусів з горизонталлю. Де воно сідає? Коли його швидкість найменша? Яке його місцезнаходження в цей час?
(вставити зображення 5)
Відомі та невідомі кількості:
Спочатку нам потрібно розбити вектор швидкості на складові:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ приблизно 86,6 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ текст {м / с}
Тоді наша таблиця кількостей:
(вставити таблицю 3)
Спочатку нам потрібно знайти час, коли м’яч летить. Ми можемо зробити це за допомогою другого вертикального рівняння_. Зверніть увагу, що ми використовуємо симетрію параболи, щоб визначити, що кінцевий _y швидкість є від’ємною від початкової:
Потім ми визначаємо, як далеко він рухається в х напрямок у цей час:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ помножено на 10,2 \ приблизно \ підкреслення {\ bold {883} \ text m}
Використовуючи симетрію параболічного шляху, ми можемо визначити, що швидкість найменша при 5,1 с, коли снаряд знаходиться на піку свого руху і вертикальна складова швидкості дорівнює 0. Х- та у-компонентами його руху в цей час є:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ раз 5,1 \ приблизно \ підкреслення {\ bold {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ times5,1- \ frac 1 2 9,8 \ разів 5,1 ^ 2 \ приблизно \ підкреслення {\ bold {128} \ text {m}}
Виведення кінематичних рівнянь
Рівняння №1: Якщо прискорення постійне, то:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Вирішуючи швидкість, маємо:
v_f = v_i + at
Рівняння №2: Середню швидкість можна записати двома способами:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Якщо замінити _vf _з виразом з рівняння # 1 отримуємо:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
Вирішення для хf дає:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 при ^ 2
Рівняння №3: Почніть з розв’язування для т у рівнянні No1
v_f = v_i + при \ означає t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Підключіть цей вираз до т у співвідношенні середньої швидкості:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ означає \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Перестановка цього виразу дає:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
