Як знайти dy / dx за неявною диференціацією, отримавши подібне рівняння, як y = sin (xy)

Неявна диференціація - це техніка, яка використовується для визначення похідної функції у вигляді y = f (x).

Щоб навчитися використовувати неявну диференціацію, ми можемо використати метод на простому прикладі, а потім дослідити деякі більш складні випадки.

Хоча це звучить складніше, неявна диференціація використовує ту саму математику та навички, що і базову диференціацію. Однак важливо відзначити, що наша залежна змінна тепер відображається у самій функції.

Візьміть просте рівняння, таке як xy = 1. Існує два способи знайти похідну від р з повагою до х, або dy / dx. По-перше, ми можемо просто вирішити р у рівнянні і використовувати правило степенів для похідних. Це зробить: y = 1 / x. Тому застосування правила потужності виявило б, що dy / dx = -1 / x².

Ми також можемо вирішити цю проблему, використовуючи неявну диференціацію. На щастя, ми вже знаємо відповідь (вона повинна бути однаковою незалежно від того, як ми її обчислюємо), тому ми можемо перевірити свою роботу!

Для початку застосуємо похідну до обох сторін рівняння xy = 1. Тоді d / dx (xy) = d / dx (1); очевидно, що права сторона тепер дорівнює 0, але ліва сторона вимагає правила ланцюга. Це тому, що ми беремо похідну від нашої функції, р, поки він множиться на інший коефіцієнт х. Для обчислення цього: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Ми будемо використовувати просте позначення для позначення похідної відносно х.

Переписавши наше рівняння, вийде: y + xy '= 0. Пора вирішити для y ' в нашому рівнянні! Очевидно, що y '= -y / x. Але використовуючи оригінальну інформацію, ми знаємо, що y = 1 / x, тому можемо підставити це назад. Після цього ми бачимо, що y '= -1 / x², як і раніше.

Щоб визначити похідну від y = sin (xy), ми будемо використовувати неявну диференціацію, пам’ятаючи, що (d / dx) y = y '.

Спочатку застосуємо похідну до обох сторін рівняння: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Ліва частина рівняння чітко виражена y ', це те, що нам потрібно буде вирішити, але правий бік вимагатиме певної роботи; зокрема, ланцюгове правило та правило товару. Спочатку правило ланцюга потрібно застосувати до sin (xy), а потім правило добутку для аргументу xy. На щастя, ми вже розрахували це правило товару.

Далі, спрощуючи це, отримуємо: y '= cos (xy) (y + xy').

Очевидно, це рівняння потрібно вирішити для y ' для того, щоб визначити як y ' пов'язано з х і р.

Виділіть усі терміни з y ' з одного боку: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).

Потім відніміть y ' отримати: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Тепер ми бачимо, що y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).

Потрібне подальше спрощення, але оскільки наша функція рекурсивно визначена, підключення y = sin (xy), швидше за все, не дасть задовільного рішення. У цьому випадку може бути корисною додаткова інформація або більш досконалий метод для побудови цих рівнянь.

По-перше, пам’ятайте, що неявна диференціація покладається на те, що одна зі змінних є функцією іншої. Зазвичай ми бачимо функції як y = f (x), але можна написати функцію x = f (y). Будьте обережні, підходячи до цих проблем, щоб визначити, яка змінна залежить від іншої.

Далі, не забувайте ретельно застосовувати похідні правила. Неявна диференціація дуже часто вимагатиме правила ланцюга, а також правила продукту та правила частки. Правильне застосування цих методів буде важливим для визначення остаточної відповіді.

Нарешті, вирішіть потрібну похідну, ізолюючи її, і максимально спростивши вирази.