Евклідова відстань - це відстань між двома точками в евклідовому просторі. Евклідовий простір спочатку був розроблений грецьким математиком Евклідом близько 300 р. До н. Е. вивчити взаємозв'язок між кутами та відстанями. Ця система геометрії використовується і сьогодні і є тією, яку найчастіше вивчають старшокласники. Евклідова геометрія конкретно стосується просторів дво- і тривимірних. Однак його можна легко узагальнити на розміри вищого порядку.
Обчисліть евклідову відстань для одного виміру. Відстань між двома точками в одному вимірі - це просто абсолютне значення різниці між їхніми координатами. Математично це показано як | p1 - q1 | де p1 - перша координата першої точки, а q1 - перша координата другої точки. Ми використовуємо абсолютне значення цієї різниці, оскільки зазвичай вважається, що відстань має лише невід’ємне значення.
Візьмемо дві точки P і Q у двовимірному евклідовому просторі. Опишемо P з координатами (p1, p2), а Q з координатами (q1, q2). Тепер побудуйте відрізок лінії з кінцевими точками P і Q. Цей відрізок утворить гіпотенузу прямокутного трикутника. Розширюючи результати, отримані на кроці 1, зауважимо, що довжини катетів цього трикутника задаються | p1 - q1 | та | p2 - q2 |. Потім відстань між двома точками буде задано як довжина гіпотенузи.
За допомогою теореми Піфагора визначте довжину гіпотенузи на етапі 2. Ця теорема стверджує, що c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 де c - довжина гіпотенузи прямокутного трикутника, а, b - довжини двох інших катетів. Це дає нам c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Отже, відстань між 2 точками P = (p1, p2) і Q = (q1, q2) у двовимірному просторі дорівнює ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Розширте результати кроку 3 до тривимірного простору. Відстань між точками P = (p1, p2, p3) і Q = (q1, q2, q3) тоді можна вказати як ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Узагальніть розчин на кроці 4 для відстані між двома точками P = (p1, p2,..., pn) і Q = (q1, q2,..., qn) у n розмірах. Це загальне рішення можна подати як ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).