Маятники мають цікаві властивості, які фізики використовують для опису інших об’єктів. Наприклад, планетна орбіта має подібний малюнок, і коливання на гойдалках може здаватися таким, ніби ви знаходитесь на маятнику. Ці властивості походять із ряду законів, що регулюють рух маятника. Вивчивши ці закони, ви можете почати розуміти деякі основні положення фізики та руху загалом.
Рух маятника можна описати за допомогою
\ theta (t) = \ theta_ {max} \ cos {\ frac {2 \ pi t} {T}}
в якійθявляє собою кут між струною і вертикальною лінією вниз по центру,тпредставляє час, іТ- період, час, необхідний для повного циклу руху маятника (вимірюється за допомогою1 / ф) руху маятника.
Простий гармонійний рух
Простий гармонічний рух, або рух, що описує, як швидкість руху об’єкта коливається пропорційно величині переміщення від рівноваги, може бути використаний для опису рівняння маятника. Розмахування качана маятника утримує в русі ця сила, що діє на нього під час руху вперед і назад.
•••Саєд Хуссейн Атер
Закони, що регулюють рух маятника, призвели до відкриття важливої властивості. Фізики розбивають сили на вертикальну та горизонтальну складові. У русі маятника,
Це показує, що маса маятника не має значення для його руху, але горизонтальне натяг струни має значення. Простий гармонійний рух подібний до кругового. Ви можете описати об’єкт, що рухається по круговій траєкторії, як показано на малюнку вище, визначивши кут і радіус, який він бере у відповідному круговому шляху. Потім, використовуючи тригонометрію прямокутного трикутника між центром кола, положенням об’єкта та переміщенням в обох напрямках x та y, ви можете знайти рівнянняx = rsin (θ)іy = rcos (θ).
Одновимірне рівняння об’єкта в простому гармонічному русі задається формулоюx = r cos (ωt).Ви можете додатково замінитиAдлярв якійAєамплітуда, максимальний зсув від початкового положення об’єкта.
Кутова швидкістьωщодо часутдля цих кутівθзадаєтьсяθ = ωt. Якщо підставити рівняння, яке пов’язує кутову швидкість із частотоюf, ω = 2πf, Ви можете собі уявити цей круговий рух, тоді як частина маятника, що коливається вперед-назад, тоді отримане просте рівняння гармонічного руху
x = A \ cos {2 \ pi ft}
Закони простого маятника
•••Саєд Хуссейн Атер
Маятники, як маси на пружині, є прикладамипрості гармонійні генератори: Існує сила відновлення, яка збільшується залежно від того, наскільки зміщений маятник, і їх рух можна описати за допомогоюпросте гармонічне рівняння генератора
\ theta (t) = \ theta_ {max} \ cos {\ frac {2 \ pi t} {T}}
в якійθявляє собою кут між струною і вертикальною лінією вниз по центру,тпредставляє час іТєперіод, час, необхідний для повного циклу руху маятника (вимірюється за допомогою1 / ф) руху маятника.
θмаксє ще одним способом визначення максимального кута, який коливається під час руху маятника, та іншим способом визначення амплітуди маятника. Цей крок пояснюється нижче в розділі "Просте визначення маятника".
Іншим наслідком законів простого маятника є те, що період коливань з постійною довжиною не залежить від розміру, форми, маси та матеріалу предмета на кінці струни. Це наочно показано через просте виведення маятника та отримані рівняння.
Просте виведення маятника
Ви можете визначити рівняння для aпростий маятник, визначення, яке залежить від простого гармонічного генератора, починаючи з ряду кроків, що починаються з рівняння руху маятника. Оскільки сила тяжіння маятника дорівнює силі руху маятника, ви можете встановити їх рівними один одному, використовуючи другий закон Ньютона з масою маятникаМ, довжина рядкаL, кутθ,гравітаційне прискоренняgі часовий інтервалт.
•••Саєд Хуссейн Атер
Ви встановили другий закон Ньютона, рівний моменту інерціїЯ = пан2для деякої масимі радіус кругового руху (у цьому випадку довжина струни)рв рази кутового прискоренняα.
- ΣF = Ma: Другий закон Ньютона стверджує, що чиста силаΣFна об'єкті дорівнює масі об'єкта, помноженій на прискорення.
- Ma = I α: Це дозволяє встановити силу гравітаційного прискорення (-Mg sin (θ) L)дорівнює силі обертання
- -Mg sin (θ) L = I α: Ви можете отримати напрямок для вертикальної сили завдяки гравітації (-Мг) шляхом обчислення прискорення якгріх (θ) Lякщоsin (θ) = d / Lдля деякого горизонтального зміщенняdі кутθ для обліку напрямку.
- -Mg sin (θ) L = ML2 α: Ви підставляєте рівняння моментом інерції обертового тіла, використовуючи довжину струни L як радіус.
- -Mg sin (θ) L = -ML2d2θ / dt: Врахувати кутове прискорення, підставивши другу похідну кута відносно часу наα.Цей крок вимагає обчислення та диференціальних рівнянь.
- d2θ / dt2 + (г / л) sinθ = 0: Ви можете отримати це, переставивши обидві сторони рівняння
- d2θ / dt2 + (г / л) θ = 0: Ви можете наблизитигріх (θ)якθдля цілей простого маятника при дуже малих кутах коливань
- θ (t) = θмаксcos (т (л / г)2): Рівняння руху має це рішення. Ви можете перевірити це, взявши другу похідну цього рівняння і працюючи, щоб отримати крок 7.
Є й інші способи простого виведення маятника. Зрозумійте значення кожного кроку, щоб побачити, як вони пов’язані. Ви можете описати простий рух маятника, використовуючи ці теорії, але ви також повинні взяти до уваги інші фактори, які можуть вплинути на просту теорію маятника.
Фактори, що впливають на рух маятника
Якщо порівняти результат цього виведення
\ theta (t) = \ theta_ {max} \ cos {t \ bigg (\ frac {L} {g} \ bigg) ^ 2}
до рівняння простого гармонічного генератораby, встановивши їх рівними один одному, можна отримати рівняння для періоду T:
T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {g} {L}}
Зверніть увагу, що це рівняння не залежить від масиМмаятника, амплітудаθмакс, ані за часомт. Це означає, що період не залежить від маси, амплітуди та часу, а замість цього залежить від довжини струни. Це дає вам стислий спосіб вираження руху маятника.
Приклад довжини маятника
За допомогою рівняння на період ви можете переставити рівняння, щоб отримати
L = \ frac {(T / 2 \ pi) ^ 2} {g}
і замінити на 1 секТі9,8 м / с2дляgотриматиL =0,0025 м. Майте на увазі, ці рівняння простої теорії маятника припускають, що довжина струни без тертя і без маси. Для врахування цих факторів потрібні більш складні рівняння.
Просте визначення маятника
Ви можете потягнути маятник назад кутомθдозволити йому гойдатися туди-сюди, щоб побачити, як воно коливається так само, як може весна. Для простого маятника ви можете описати його, використовуючи рівняння руху простого гармонічного генератора. Рівняння руху добре працює при менших значеннях кута іамплітуда, максимальний кут, оскільки проста модель маятника покладається на наближення, якегріх (θ) ≈ θдля деякого кута маятникаθ.Оскільки кути та амплітуди значень стають більше приблизно на 20 градусів, це наближення також не працює.
Спробуйте самі. Маятник, що коливається з великим початковим кутомθне буде коливатися так регулярно, щоб дозволити вам використовувати простий гармонійний генератор для його опису. Під меншим початковим кутомθ, маятник набагато легше наближається до регулярного коливального руху. Оскільки маса маятника не має ніякого відношення до його руху, фізики довели, що всі маятники мають однаковий період коливань кути - кут між центром маятника в найвищій точці та центром маятника в зупиненому положенні - менше 20 градусів.
Для всіх практичних цілей маятника, що рухається, маятник врешті-решт сповільниться і зупиниться через тертя між струною та її закріпленою точкою зверху, а також через опір повітря між маятником та повітрям навколо нього.
Для практичних прикладів руху маятника період і швидкість залежать від типу використовуваного матеріалу, який спричинить ці приклади тертя та опору повітря. Якщо ви проводите розрахунки теоретичної коливальної поведінки маятника, не враховуючи цих сил, то він буде враховувати коливання маятника нескінченно.
Закони Ньютона в маятниках
Перший закон Ньютона визначає швидкість руху об’єктів у відповідь на дії сил. Закон передбачає, що якщо об’єкт рухається з певною швидкістю і прямолінійно, він буде продовжувати рухатися з такою швидкістю і прямолінійно, нескінченно, доки на нього не діє жодна інша сила. Уявіть, кидайте м’яч прямо вперед - м’яч знову і знову об’їжджатиме землю, якби на нього не діяли опір повітря і сила тяжіння. Цей закон показує, що, оскільки маятник рухається в сторону, а не вгору і вниз, він не діє на нього силами вгору і вниз.
Другий закон Ньютона використовується при визначенні чистої сили на маятник, встановлюючи силу тяжіння, рівну силі струни, яка тягнеться назад на маятник. Встановлення цих рівнянь однакових між собою дозволяє отримати рівняння руху маятника.
Третій закон Ньютона говорить, що кожна дія має реакцію однакової сили. Цей закон працює з першим законом, який показує, що хоча маса і гравітація відміняють вертикальну складову вектора натягу струни, ніщо не відміняє горизонтальну складову. Цей закон показує, що сили, що діють на маятник, можуть скасувати одна одну.
Фізики використовують перший, другий і третій закони Ньютона, щоб довести, що горизонтальний натяг струни рухає маятник незалежно від маси та сили тяжіння. Закони простого маятника відповідають ідеям трьох законів руху Ньютона.