Tabanda üstten daha dar olan, görünüşte sayısız plastik tek kullanımlık su bardaklarından birine ne kadar su veya kahve sığabileceğini hiç merak ettiniz mi? Başka bir deyişle, gördüğünüz veya kullandığınız hemen hemen her kağıt, plastik veya diğer tek kullanımlık bardak? (Adil olmak gerekirse, bazı bardakların kenarları eğimli değildir ve bu nedenle silindiriktir, ancak bu sadece kalıcı bardak.)
Yukarıda açıklanan şeklin türü, bir koni, uzayda dolaşan ve daire (en basit durumda) veya elips gibi eğri bir yolu izleyen bir çizginin sonucudur. Bir fincan genellikle sivri değildir (bazıları donmuş ikramları tutar), ancak yine de geometrik olarak konuşursak, bir koninin "parçasıdır". Bu, sabırla hacmi bulmayı kolaylaştırır.
Koninin Hacmi
Düzenli veya doğru bir koninin (yani dairesel tabanlı bir koninin) hacminin formülü şudur:
V=\frac{1}{3}πr^2h
Nerede r tabanın yarıçapı ve h koninin yüksekliğidir. Ayrıca, yandan bakıldığında, bir dik koni, yan yana yerleştirilmiş iki dik üçgene benzediği için, uzunluk
s koninin eğimli tarafının değeri, bu üçgenlerden birinin hipotenüsü ile aynı değere sahiptir. Böylece Pisagor teoremi uygulanarak verilir: r2 + h2 = s2, yanis=\sqrt{r^2 + h^2}
Konik Bir Kupanın Hacmi: Birinci Kısım
Diyelim ki tabanda 8 cm (cm) genişliğinde, üstte 10 cm genişliğinde ve 15 cm boyunda bir bardağınız var. cm cinsinden ne kadar sıvı tutabilir3, aynı zamanda mililitre (mL) olarak da adlandırılır?
Bu soruna yaklaşmanın bir yolu, bardağın enine kesitini, yani, görüş alanınıza tam olarak yarı yarıya kesildikten sonra yandan nasıl göründüğünü çizmektir. Tabanın yanlarla birleştiği iki noktadan yukarı doğru dikey çizgiler çizerseniz, fincan, şimdi kesiti iki eşit, yansıyan dik üçgene ve bir dikdörtgen. Üçgenlerin uzun "bacakları" 15 cm ve kısa "bacakları" 1 cm'dir (taban genişliği ile üst genişlik arasındaki farkı böler).
Konik Bir Kupanın Hacmi: İkinci Kısım
Şemanızdaki bardağın kenarlarını tabanın altındaki bir noktaya kadar uzatırsanız ne olduğuna dikkat edin. Ayrıca bir çizgiyi, tepenin ortasından, bu çizgilerin birleştiği noktaya doğru uzatın. (Kenarları bir araya getirip kapalı bir üçgen oluşturacak yeriniz olmayabilir, ancak olabildiğince yakınlaşın,)
Benzer üçgenler ilkesinden dolayı, üçgenlerin uzun kenarının yukarıdan (15 cm) küçük bacağınkine oranının (1 cm) veya 15'e 1, "bardak"ın tabanı ile gövde arasında yeni oluşturulan üçgenlerden birinin küçük bacağının uzun bacağına oranı ile aynı olmalıdır. nokta. Küçük bacak 4 cm değerinde olduğu için uzun bacak bunun 15 katı veya 60 cm olmalıdır.
Böylece şimdi toplam yüksekliği 15 + 60 = 75 cm ve genişliği 10 cm, yani yarıçapı 5 cm olan bir koninin kesiti ile uğraşıyorsunuz. Bu koninin hacmi eksi 60 cm yüksekliğinde ve 8 cm genişliğinde (r = 4 cm) fincan tabanına kadar uzanan koninin hacminden istenen sonucu verir:
\begin{hizalanmış} \frac{1}{3}×π×5^2×75 = 1963,5 \text{ mL} \\ \frac{1}{3}×π×4^2×60 = 1005,3 \text { mL} \\ 1963.5 - 1005.3 = 958.2 \text{ mL} \end{hizalı}
Böylece bardağınız 1 L'ye (1.000 mL) çok yakın sıvı tutar.
Koni ve Kupa Hacim Hesaplayıcı
Farklı ilk bilgi kombinasyonları verilen konileri içeren hesap makinelerinin bir listesi için Kaynaklara bakın. Alternatif olarak, yukarıdaki gibi bir yaklaşım kullanabilir ve bardağı farklı şekillere ayırabilir, ardından toplamı bulmak için uygun kombinasyonlarda daha basit formüller (bir küpün hacmi için formül gibi) Ses.