Mükemmel dairesel bir arenanın ortasında durduğunuzu hayal edin. Arenanın kenarlarındaki kalabalığa bakıyorsunuz ve bir koltukta en iyi arkadaşınızı ve birkaç bölüm ötede ortaokul matematik öğretmeninizi görüyorsunuz. Onlarla aranızdaki mesafe ne kadar? Arkadaşınızın koltuğundan öğretmeninizin koltuğuna gitmek için ne kadar yürümeniz gerekir? Aranızdaki açıların ölçüleri nelerdir? Bunların hepsi merkez açılarla ilgili sorular.
bir merkez açı dairenin merkezinden kenarlarına iki yarıçap çizildiğinde oluşan açıdır. Bu örnekte, iki yarıçap, sizden, arenanın merkezinden arkadaşınıza ve öğretmeninize olan iki görüş hattınızdır. Bu iki doğru arasında oluşan açı merkez açıdır. Çemberin merkezine en yakın açıdır.
Arkadaşınız ve öğretmeniniz yan tarafta oturuyorlar. çevre veya dairenin kenarları. Onları birbirine bağlayan arena boyunca uzanan yol, yay.
Yay Uzunluğu ve Çevresinden Merkez Açıyı Bulun
Merkez açıyı bulmak için kullanabileceğiniz birkaç denklem vardır. Bazen alacaksın yay uzunluğu, iki nokta arasındaki çevre boyunca olan mesafe. (Örnekte, arkadaşınızdan öğretmeninize ulaşmak için arenada yürümeniz gereken mesafe budur.) Merkez açı ve yay uzunluğu arasındaki ilişki:
(yay uzunluğu) ÷ çevre = (merkezi açı) ÷ 360°
Merkez açı derece cinsinden olacaktır.
Düşünürseniz bu formül mantıklı. Çemberin etrafındaki toplam uzunluktan (çevre) yayın uzunluğu, yayın bir daire içindeki toplam açıdan dışarı açısıyla (360 derece) aynı orana sahiptir.
Bu denklemi etkili bir şekilde kullanmak için dairenin çevresini bilmeniz gerekir. Ancak, merkez açıyı ve çevreyi biliyorsanız, bu formülü yay uzunluğunu bulmak için de kullanabilirsiniz. Ya da yay uzunluğuna ve merkez açıya sahipseniz çevresini de bulabilirsiniz!
Yay Uzunluğu ve Yarıçapından Merkez Açıyı Bulun
Merkez açıyı bulmak için dairenin yarıçapını ve yay uzunluğunu da kullanabilirsiniz. Merkez açının ölçüsünü θ olarak adlandırın. Sonra:
θ = s÷ r, burada s yay uzunluğu ve r yarıçaptır. θ radyan cinsinden ölçülür.
Yine sahip olduğunuz bilgilere göre bu denklemi yeniden düzenleyebilirsiniz. Yayın uzunluğunu yarıçaptan ve merkez açıdan bulabilirsiniz. Veya merkez açınız ve yay uzunluğunuz varsa yarıçapı bulabilirsiniz.
Yay uzunluğunu istiyorsanız, denklem şöyle görünür:
s =θ * r, burada s yay uzunluğu, r yarıçap ve θ radyan cinsinden merkez açıdır.
Merkez Açı Teoremi
Komşunuz ve öğretmeniniz ile arenada olduğunuz örneğinize bir değişiklik ekleyelim. Şimdi arenada tanıdığınız üçüncü bir kişi var: kapı komşunuz. Ve bir şey daha: Arkandalar. Onları görmek için arkanı dönmelisin.
Komşunuz, arkadaşınız ve öğretmeninizden yaklaşık olarak arenanın karşısındadır. Komşunuzun bakış açısından, onların arkadaşına ve öğretmene olan bakış açısının oluşturduğu bir açı vardır. Buna yazılı açı denir. bir yazılı açı bir dairenin çevresi boyunca üç noktanın oluşturduğu bir açıdır.
Merkez Açı Teoremi, sizin tarafınızdan oluşturulan merkez açının boyutu ile komşunuzun oluşturduğu yazılı açı arasındaki ilişkiyi açıklar. Merkez Açı Teoremi şunu belirtir merkez açı, yazılı açının iki katıdır. (Bu, aynı uç noktaları kullandığınızı varsayar. İkiniz de öğretmene ve arkadaşa bakıyorsunuz, başka kimseye değil).
İşte bunu yazmanın başka bir yolu. Arkadaşınızın koltuğuna A, öğretmeninizin koltuğuna B ve komşunuzun koltuğuna C diyelim. Sen, merkezde, O olabilirsin.
Böylece, bir dairenin çevresi boyunca A, B ve C noktaları ve merkezdeki O noktası için, ∠AOC merkez açısı, ∠ABC yazılı açısının iki katıdır.
Yani, ∠AOC = 2∠ABC.
Bu biraz mantıklı. Arkadaşa ve öğretmene daha yakınsınız, bu yüzden size daha uzak görünüyorlar (daha geniş bir açı). Stadyumun diğer tarafındaki komşunuza çok daha yakın görünüyorlar (daha küçük bir açı).
Merkezi Açı Teoreminin İstisnası
Şimdi işleri yukarı kaydıralım. Arenanın uzak ucundaki komşunuz hareket etmeye başlıyor! Hala arkadaş ve öğretmen için bir görüş hattına sahipler, ancak komşu hareket ettikçe çizgiler ve açılar değişmeye devam ediyor. Tahmin et ne oldu: Komşu, arkadaş ve komşu arasındaki yayın dışında kaldığı sürece, Merkez Açı Teoremi hala geçerlidir!
Ama komşu hareket ettiğinde ne olur? arasında arkadaş ve öğretmen? Şimdi komşunuz içeride küçük ark, arenanın geri kalanı etrafındaki daha büyük mesafeye kıyasla arkadaş ve öğretmen arasındaki nispeten küçük mesafe. O zaman Merkezi Açı Teoremi için bir istisnaya ulaşırsınız.
Merkez Açı Teoreminin istisnası komşusu olan C noktası küçük yayın içinde olduğunda, çizilen açının merkez açının yarısının tümleyeni olduğunu belirtir. (Bir açının ve onun ek 180 dereceye ekleyin.)
Yani: yazılı açı = 180 - (merkezi açı ÷ 2)
Veya: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
görselleştir
Math Open Reference, Merkezi Açı Teoremini ve istisnasını görselleştirmek için bir araca sahiptir. "Komşusu" dairenin tüm farklı bölümlerine sürükleyip açıların değişimini izleyeceksiniz. Görsel veya ekstra bir uygulama istiyorsanız deneyin!