Faktoring polinomları, matematikçilerin bir fonksiyonun sıfırlarını veya çözümlerini belirlemesine yardımcı olur. Bu sıfırlar, artan ve azalan oranlardaki kritik değişiklikleri gösterir ve genellikle analiz sürecini basitleştirir. Derece üç veya daha yüksek polinomlar için, yani değişken üzerindeki en yüksek üs üç veya daha büyük olduğu için, çarpanlara ayırma daha sıkıcı olabilir. Bazı durumlarda, gruplama yöntemleri aritmetiği kısaltır, ancak diğer durumlarda, analize devam etmeden önce fonksiyon veya polinom hakkında daha fazla bilgi sahibi olmanız gerekebilir.
Gruplandırarak çarpanlara ayırmayı dikkate almak için polinomu analiz edin. Polinom, en büyük ortak faktörün (GCF) ilk iki terim ve son iki terim başka bir ortak faktörü ortaya çıkarır, gruplamayı kullanabilirsiniz yöntem. Örneğin, F(x) = x³ – x² – 4x + 4 olsun. GCF'yi ilk ve son iki terimden çıkardığınızda aşağıdakileri elde edersiniz: x²(x – 1) – 4 (x – 1). Şimdi her bir parçadan (x – 1) çekerek (x² – 4) (x – 1) elde edebilirsiniz. “Kareler farkı” yöntemini kullanarak daha ileri gidebilirsiniz: (x – 2) (x + 2) (x – 1). Her faktör asal veya faktörlenemez formda olduğunda, işiniz biter.
Bir fark veya küp toplamı arayın. Polinomun her biri mükemmel bir küp içeren yalnızca iki terimi varsa, bunu bilinen kübik formüllere göre çarpanlara ayırabilirsiniz. Toplamlar için, (x³ + y³) = (x + y) (x² – xy + y²). Farklar için (x³ – y³) = (x – y) (x² + xy + y²). Örneğin, G(x) = 8x³ – 125 olsun. Daha sonra bu üçüncü dereceden polinomu çarpanlara ayırmak, aşağıdaki gibi bir küp farkına dayanır: (2x – 5) (4x² + 10x + 25), burada 2x, 8x³'ün küp köküdür ve 5, 125'in küp köküdür. 4x² + 10x + 25 asal olduğu için çarpanlara ayırma işlemini bitirdiniz.
Polinomun derecesini azaltabilecek bir değişken içeren bir GCF olup olmadığına bakın. Örneğin, H(x) = x³ – 4x ise, “x”in GCF'sini çarpanlarına ayırarak x (x² - 4) elde edersiniz. Daha sonra kareler farkı tekniğini kullanarak polinomu x (x – 2) (x + 2) şeklinde daha da bölebilirsiniz.
Polinomun derecesini azaltmak için bilinen çözümleri kullanın. Örneğin, P(x) = x³ – 4x² – 7x + 10 olsun. GCF veya fark/küp toplamı olmadığından, polinomu çarpanlara ayırmak için başka bilgileri kullanmanız gerekir. P(c) = 0 olduğunu öğrendikten sonra, (x – c)'nin cebirin "Faktör Teoremi"ne dayalı bir P(x) çarpanı olduğunu bilirsiniz. Bu nedenle, böyle bir "c" bulun. Bu durumda P(5) = 0, yani (x – 5) bir faktör olmalıdır. Sentetik veya uzun bölmeyi kullanarak, (x – 1) (x + 2)'ye çarpanları olan (x² + x – 2)'nin bir bölümünü elde edersiniz. Bu nedenle, P(x) = (x – 5) (x – 1) (x + 2).
