Gerçek sayılar kümesi, bir sayı doğrusundaki tüm sayılardan oluşur. Alt kümeler herhangi bir sayı koleksiyonunu içerebilir, ancak önemli bir alt kümenin öğelerinin en azından birkaç ortak özelliği olmalıdır. Bu alt kümelerin çoğu yalnızca belirli hesaplamalar için kullanışlıdır, ancak ilginç özelliklere sahip olan ve gerçek sayı sisteminin nasıl çalıştığını anlamaya yardımcı olan birkaç tane vardır.
TL; DR (Çok Uzun; Okumadım)
Gerçek sayılar kümesinin en önemli alt kümeleri, rasyonel ve irrasyonel sayıları içerir. Rasyonel sayılar kümesi, doğal sayılar, tam sayılar ve tam sayılar dahil olmak üzere daha fazla alt kümeye ayrılabilir. Gerçek sayıların diğer alt kümeleri çift ve tek sayılar, asal sayılar ve mükemmel sayılardır. Toplamda, reel sayıların sonsuz sayıda alt kümesi vardır.
Genel Olarak Gerçek Sayı Alt Kümeleri
Bir miktar n eleman içeren herhangi bir küme için alt küme sayısı 2'dir.n. Gerçek sayılar kümesi sonsuz sayıda öğeye sahiptir ve bu nedenle karşılık gelen 2 üstel de sonsuzdur ve sonsuz sayıda alt küme verir.
Bu alt kümelerin çoğu, gerçek sayı sistemiyle çalışırken ve hesaplamalar sırasında kullanılabilir, ancak bunlar yalnızca belirli amaçlar için yararlıdır. Örneğin, arkadaşlar için birkaç pizzanın fiyatını hesaplamak için, yalnızca ondan yüze kadar olan sayıların alt kümesi ilgi çekici olabilir. Bir dış mekan termometresi, yalnızca eksi 40 ila artı 120 derece Fahrenhayt arasındaki sıcaklıkların alt kümesini gösterebilir. Bunun gibi alt kümelerle çalışmak yararlıdır çünkü beklenen alt kümenin dışındaki herhangi bir sonuç muhtemelen yanlıştır.
Gerçek sayıların daha genel alt kümeleri, sayıları özelliklerine göre sınıflandırır ve sonuç olarak bu alt kümeler benzersiz özelliklere sahiptir. Gerçek sayı sistemi, saymak için kullanılan doğal sayılar gibi alt kümelerden evrimleşmiştir ve bu tür alt kümeler cebir anlayışının temelini oluşturur.
Gerçek Sayıları Oluşturan Alt Kümeler
Gerçek sayılar kümesi, rasyonel ve irrasyonel sayılardan oluşur. Rasyonel sayılar, kesir olarak ifade edilebilen tam sayılar ve sayılardır. Diğer tüm gerçek sayılar irrasyoneldir ve 2'nin karekökü ve pi sayısı gibi sayıları içerir. İrrasyonel sayılar, gerçek sayıların bir alt kümesi olarak tanımlandığından, tüm irrasyonel sayılar gerçek sayılar olmalıdır.
Rasyonel sayılar ek alt kümelere ayrılabilir. Doğal sayılar, saymada tarihsel olarak kullanılan sayılardır ve bunlar 1, 2, 3 vb. dizisidir. Tam sayılar, doğal sayılar artı sıfırdır. Tam sayılar, tam sayılar artı negatif doğal sayılardır.
Rasyonel sayıların diğer alt kümeleri, çift, tek, asal ve mükemmel sayılar gibi kavramları içerir. Çift sayılar, çarpanı 2 olan tam sayılardır; tek sayılar diğer tüm tam sayılardır. Asal sayılar, çarpanları yalnızca kendileri ve 1 olan tam sayılardır. Mükemmel sayılar, çarpanlarının toplamı sayıya eşit olan tam sayılardır. En küçük mükemmel sayı 6'dır ve çarpanları 1, 2 ve 3'ün toplamı 6'dır.
Genelde reel sayılarla yapılan hesaplamalar reel sayı cevapları verir ama bir istisna vardır. Kendisiyle çarpıldığında cevap olarak negatif gerçek sayı veren hiçbir gerçek sayı yoktur. Sonuç olarak, negatif bir gerçek sayının karekökü gerçek bir sayı olamaz. Negatif gerçek sayıların karekökleri hayali sayılar olarak adlandırılır ve bunlar gerçek sayılardan tamamen ayrı bir sayı kümesinin öğeleridir.
Gerçek sayıların alt kümelerinin incelenmesi, sayı teorisinin bir parçasıdır ve sayılar teorisinin nasıl çalıştığını anlamayı kolaylaştırmak için sayıları sınıflandırır. Gerçek sayı alt kümelerine ve özelliklerine aşina olmak, daha sonraki matematiksel çalışmalar için iyi bir temeldir.