Klasik mekanik ile kuantum mekaniği arasındaki fark çok büyük. Klasik mekanikte parçacıklar ve nesneler açıkça tanımlanmış konumlara sahipken, kuantum mekaniğinde (ölçümden önce) bir parçacığın yalnızca dalga tarafından olasılıklar cinsinden tanımlanan bir dizi olası pozisyona sahip olduğu söylenebilir. işlev.
Schrödinger denklemi, kuantum mekanik sistemlerinin dalga fonksiyonunu tanımlar ve bunun nasıl kullanılacağını ve yorumlanacağını öğrenmek, kuantum mekaniğindeki herhangi bir dersin önemli bir parçasıdır. Bu denklemin çözümünün en basit örneklerinden biri kutudaki bir parçacık içindir.
Dalga Fonksiyonu
Kuantum mekaniğinde, bir parçacık bir ile temsil edilir.dalga fonksiyonu. Bu genellikle Yunan harfi psi (Ψ) ve hem konuma hem de zamana bağlıdır ve parçacık hakkında bilinebilecek her şeyi içerir.
Bu fonksiyonun karesinin modülü size parçacığın konumunda bulunma olasılığını söyler.xbu zamandat, işlevin "normalleştirilmiş" olması koşuluyla. Bu sadece, bulunduğu kesin olacak şekilde ayarlanmış anlamına gelir.
birazdurumxo zamanther lokasyondaki sonuçlar toplandığında, yani normalizasyon koşulu şunu söylüyor:\int_{-\infty}^\infty \vertΨ\vert^2 = 1
Bir parçacığın o andaki konumu için beklenen değeri hesaplamak için dalga fonksiyonunu kullanabilirsiniz.t, burada beklenti değeri yalnızca alacağınız ortalama değer anlamına gelirxölçümü çok sayıda tekrar ettiyseniz. Elbette bu, herhangi bir ölçüm için elde edeceğiniz sonucun bu olacağı anlamına gelmez – yanietkili bir şekilderastgele, ancak bazı konumlar genellikle diğerlerinden önemli ölçüde daha olasıdır.
Momentum ve enerji değerleri gibi beklenti değerlerini hesaplayabileceğiniz başka niceliklerin yanı sıra diğer birçok “gözlenebilir” nicelik vardır.
Schrödinger Denklemi
Schrödinger denklemi, dalga fonksiyonunun değerini ve parçacığın enerjisinin öz durumlarını bulmak için kullanılan bir diferansiyel denklemdir. Denklem, enerjinin korunumundan ve bir parçacığın kinetik ve potansiyel enerjisinin ifadelerinden türetilebilir. Bunu yazmanın en basit yolu şudur:
H(Ψ) =iℏ\frac{\partialΨ}{\partial t}
Ama buradaHtemsil etmekHamilton operatörü, kendi içinde oldukça uzun bir ifadedir:
H = \frac{−ℏ}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)
Buraya,mkütledir, Plan Planck sabitinin 2π'ye bölümüdür veV (x) sistemin potansiyel enerjisi için genel bir fonksiyondur. Hamiltoniyenin iki ayrı kısmı vardır - ilk terim sistemin kinetik enerjisidir ve ikinci terim potansiyel enerjidir.
Kuantum mekaniğinde gözlemlenebilir her değer bir operatörle ilişkilidir ve Schrödinger denkleminin zamandan bağımsız versiyonunda Hamiltonian enerji operatörüdür. Bununla birlikte, yukarıda gösterilen zamana bağlı versiyonda, Hamiltonyen, dalga fonksiyonunun zaman evrimini de üretir.
Denklemde yer alan tüm bilgileri birleştirerek, parçacığın uzay ve zamandaki evrimini tanımlayabilir ve onun için olası enerji değerlerini de tahmin edebilirsiniz.
Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi
Dalga fonksiyonunu uzay ve zaman bölümlerine ayırarak - zamanla belirgin şekilde gelişmeyen bir durumu tanımlamak için - denklemin zamana bağlı kısmı kaldırılabilir:Ψ(x, t) = Ψ(x) f(t). Zamana bağlı parçalar daha sonra denklemden çıkarılabilir, bu da Schrödinger denkleminin zamandan bağımsız versiyonunu bırakır:
H Ψ(x) = E (Ψ (x))
Esistemin enerjisidir. Bu, özdeğer denkleminin tam biçimine sahiptir.Ψ(x) özfonksiyon olmak veEözdeğer olduğu için zamandan bağımsız denkleme genellikle bir kuantum mekanik sistemin enerjisi için özdeğer denklemi denir. Zaman fonksiyonu basitçe şu şekilde verilir:
f (t) = e^{-iEt/ℏ}
Zamandan bağımsız denklem yararlıdır çünkü zaman gelişiminin özellikle önemli olmadığı birçok durum için hesaplamaları basitleştirir. Bu, "kutudaki parçacık" problemleri için ve hatta bir atomun etrafındaki elektronların enerji seviyelerini belirlemek için en kullanışlı biçimdir.
Kutudaki Parçacık (Sonsuz Kare Kuyu)
Zamandan bağımsız Schrödinger denkleminin en basit çözümlerinden biri, bir sonsuz derin kare kuyu (yani sonsuz potansiyel kuyu) veya tek boyutlu bir taban kutusu uzunlukL. Elbette bunlar teorik idealleştirmelerdir, ancak doğada var olan birçok karmaşıklığı hesaba katmadan Schrödinger denklemini nasıl çözeceğinize dair temel bir fikir verir.
Olasılık yoğunluğunun da 0 olduğu kuyunun dışında potansiyel enerji 0'a ayarlandığında, bu durum için Schrödinger denklemi şöyle olur:
\frac{−ℏ^2}{2m} \frac{d^2Ψ(x)}{dx^2} = E Ψ(x)
Ve bu formun bir denkleminin genel çözümü:
Ψ(x) = A \sin (kx) + B \cos (kx)
Ancak, sınır koşullarına bakmak bunu daraltmaya yardımcı olabilir. İçinx= 0 vex= L, yani kutunun kenarları veya kuyunun duvarları, dalga fonksiyonunun sıfıra gitmesi gerekir. Argüman 0 olduğunda kosinüs işlevi 1 değerine sahiptir, dolayısıyla sınır koşullarının sağlanması için sabitBsıfıra eşit olmalıdır. Bu yapraklar:
Ψ(x) = A \sin (kx)
için bir değer ayarlamak için sınır koşullarını da kullanabilirsiniz.k. sin fonksiyonu değerlerde sıfıra gittiği içinnπ, burada kuantum sayısın= 0, 1, 2, 3… ve benzeri, bu şu anlama gelir:x = L, denklem yalnızca şu durumlarda çalışır:k = nπ / L. Son olarak, değerini bulmak için dalga fonksiyonunun normalleştirilmesi gerektiği gerçeğini kullanabilirsiniz.bir(mümkün olan tümxdeğerler, yani 0'danLve ardından sonucu 1'e eşitleyin ve yeniden düzenleyin), son ifadeye ulaşmak için:
Ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
Orijinal denklemi ve bu sonucu kullanarak,E, hangi sonuçları verir:
E = \frac{n^2ℎ^2}{8mL^2}
Şu gerçeği unutmayınnbu ifadede, enerji seviyelerinin olduğu anlamına gelirnicelenmiş, bu yüzden alamazlarhiçdeğer, ancak yalnızca parçacığın kütlesine ve kutunun uzunluğuna bağlı olarak belirli enerji düzeyi değerlerinin ayrı bir kümesidir.
Kutudaki Parçacık (Sonlu Kare Kuyu)
Potansiyel kuyunun sonlu bir duvar yüksekliği varsa, aynı problem biraz daha karmaşık hale gelir. Örneğin, eğer potansiyelV (x) değerini alırV0 potansiyel kuyusu dışında ve içinde 0, dalga fonksiyonu problemin kapsadığı üç ana bölgede belirlenebilir. Ancak bu daha ilgili bir süreçtir, bu nedenle burada tüm süreci gözden geçirmek yerine yalnızca sonuçları görebileceksiniz.
kuyu yerinde isex= 0 ilax = Lyine bölge içinx< 0 çözüm:
Ψ(x) = Ol^{kx}
Bölge içinx > L, bu:
Ψ(x) = Ae^{-kx}
Nerede
k = \sqrt{\frac{2me}{ℏ^2}}
Kuyu içindeki bölge için 0 <x < L, genel çözüm şudur:
Ψ(x) = C \sin (wx) + D\cos (wx)
Nerede
w = \sqrt{\frac{-2m (E+V_0)}{ℏ^2}}
Daha sonra sabitlerin değerlerini belirlemek için sınır koşullarını kullanabilirsiniz.bir, B, CveD, kuyunun duvarlarında tanımlanmış değerlere sahip olmanın yanı sıra, dalga fonksiyonunun ve birinci türevinin her yerde sürekli olması ve dalga fonksiyonunun her yerde sonlu olması gerektiğine dikkat çekerek.
Sığ kutular, dar kutular ve diğer birçok özel durum gibi diğer durumlarda, bulabileceğiniz yaklaşımlar ve farklı çözümler vardır.