Bilardo oynamış olan herkes, farkında olsun ya da olmasın, momentumun korunumu yasasına aşinadır.
Momentumun korunumu yasası, nesneler etkileşime girdiğinde veya çarpıştığında ne olacağını anlamak ve tahmin etmek için temeldir. Bu yasa, bilardo toplarının hareketlerini tahmin eder ve sekiz topun köşe cebine girip girmeyeceğine karar verir.
Momentum Nedir?
Momentum, bir nesnenin kütlesinin ve hızının ürünü olarak tanımlanır. Denklem biçiminde, bu genellikle şöyle yazılır:p = mv.
Bu bir vektör miktarıdır, yani onunla ilişkili bir yönü vardır. Bir nesnenin momentum vektörünün yönü, hız vektörünün yönü ile aynıdır.
Yalıtılmış bir sistemin momentumu, o sistemdeki her bir nesnenin momentumunun toplamıdır. Yalıtılmış bir sistem, başka hiçbir şeyle net bir şekilde etkileşime girmeyen etkileşimli nesnelerin bir sistemidir. Başka bir deyişle, sisteme etki eden net bir dış kuvvet yoktur.
Yalıtılmış bir sistemde toplam momentumu incelemek önemlidir çünkü çarpışmalar ve etkileşimler sırasında sistemdeki nesnelere ne olacağına dair tahminlerde bulunmanıza olanak tanır.
Koruma Kanunları Nelerdir?
Momentumun korunumu yasasını anlamaya başlamadan önce, “korunmuş nicelik” ile ne kastedildiğini anlamak önemlidir.
Bir şeyi muhafaza etmek, bir şekilde israfını veya kaybını önlemek demektir. Fizikte, bir miktar sabit kalırsa korunur denir. Bu ifadeyi, enerjinin yaratılamayacağı veya yok edilemeyeceği, sadece form değiştirebileceği fikri olan enerjinin korunumu ile ilgili olarak duymuş olabilirsiniz. Dolayısıyla toplam miktarı sabit kalır.
Momentumun korunumundan bahsettiğimizde, sabit kalan toplam momentum miktarından bahsediyoruz. Bu momentum, yalıtılmış bir sistem içinde bir nesneden diğerine aktarılabilir ve bu sistemdeki toplam momentum değişmezse yine de korunmuş olarak kabul edilir.
Newton'un İkinci Hareket Yasası ve Momentumun Korunumu Yasası
Momentumun korunumu yasası, Newton'un ikinci hareket yasasından türetilebilir. Bu yasanın bir nesnenin net kuvveti, kütlesi ve ivmesi ile ilgili olduğunu hatırlayın.Fağ = anne.
Buradaki hile, bu net kuvvetin bir bütün olarak bir sistem üzerinde hareket ettiğini düşünmektir. Momentumun korunumu yasası, sistem üzerindeki net kuvvet 0 olduğunda geçerlidir. Bu, sistemdeki her nesne için, üzerine uygulanabilecek tek kuvvetlerin sistem içindeki diğer nesnelerden gelmesi veya bir şekilde iptal edilmesi gerektiği anlamına gelir.
Dış kuvvetler sürtünme, yerçekimi veya hava direnci olabilir. Sistem üzerindeki net kuvveti 0 yapmak için bunların ya etki etmemesi ya da karşı konulması gerekir.
Türetmeye ifadeyle başlayabilirsiniz.Fağ = ana = 0.
mbu durumda tüm sistemin kütlesidir. Söz konusu ivme, ivmeyi ifade eden sistemin net ivmesidir. sistemin kütle merkezinin (kütle merkezi, toplam sistemin ortalama konumudur) kitle.)
Net kuvvetin 0 olması için ivmenin de 0 olması gerekir. İvme, zaman içinde hızdaki değişim olduğundan, bu, hızın değişmemesi gerektiği anlamına gelir. Başka bir deyişle, hız sabittir. Dolayısıyla şu ifadeyi alıyoruzmvsantimetre= sabit.
Neredevsantimetreaşağıdaki formülle verilen kütle merkezinin hızıdır:
v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2 + ...}{m_1 + m_2 + ...}
Yani şimdi ifade azalır:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \text{sabit}
Bu, momentumun korunumunu tanımlayan denklemdir. Her terim, sistemdeki nesnelerden birinin momentumudur ve tüm momentumların toplamı sabit olmalıdır. Bunu ifade etmenin başka bir yolu da şunu belirtmektir:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} +... = m_1v_{1f} + m_2v_{2f} + ...
alt simge neredebenbaşlangıç değerlerini ifade eder vefgenellikle bir sistemdeki nesneler arasındaki çarpışma gibi bir tür etkileşimden önce ve sonra meydana gelen nihai değerlere.
Esnek ve Esnek Olmayan Çarpışmalar
Momentumun korunumu yasasının önemli olmasının nedeni, Her biri ile çarpışabilecek yalıtılmış bir sistemdeki nesneler için bilinmeyen son hız veya benzerleri diğer.
Böyle bir çarpışmanın meydana gelebileceği iki ana yol vardır: esnek veya esnek olmayan.
Mükemmel esnek çarpışma, çarpışan nesnelerin birbirinden sektiği çarpışmadır. Bu çarpışma türü, kinetik enerjinin korunumu ile karakterize edilir. Bir cismin kinetik enerjisi şu formülle verilir:
KE = \frac{1}{2}mv^2
Kinetik enerji korunuyorsa, sistemdeki tüm nesnelerin kinetik enerjilerinin toplamı herhangi bir çarpışmadan önce ve sonra sabit kalmalıdır. Kinetik enerjinin korunumunu momentumun korunumu ile birlikte kullanmak, çarpışan bir sistemde birden fazla son veya başlangıç hızı çözmenize izin verebilir.
Tam esnek olmayan bir çarpışma, iki nesnenin çarpıştığı, birbirine yapıştığı ve daha sonra tekil bir kütle olarak hareket ettiği bir çarpışmadır. Bu, bir sorunu da basitleştirebilir, çünkü iki yerine yalnızca bir son hız belirlemeniz gerekir.
Her iki çarpışmada da momentum korunurken, kinetik enerji sadece esnek çarpışmada korunur. Gerçek hayattaki çarpışmaların çoğu ne tam esnek ne de tam esnek değildir, ancak arada bir yerde bulunur.
Açısal Momentumun Korunumu
Önceki bölümde açıklanan şey, lineer momentumun korunumudur. Açısal momentum adı verilen dönme hareketine uygulanan başka bir momentum türü daha vardır.
Doğrusal momentumda olduğu gibi açısal momentum da korunur. Açısal momentum, bir nesnenin kütlesine ve bu kütlenin dönme ekseninden ne kadar uzak olduğuna bağlıdır.
Bir artistik patinajcı döndüğünde, kollarını vücutlarına yaklaştırdıkça daha hızlı döndüklerini göreceksiniz. Bunun nedeni, açısal momentumlarının ancak kollarını merkeze ne kadar yaklaştırdıklarıyla orantılı olarak dönme hızları artarsa korunur.
Momentum Korunumu Problemlerine Örnekler
Örnek 1:Eşit kütleli iki bilardo topu birbirine doğru yuvarlanıyor. Biri 2 m/s başlangıç hızıyla hareket ederken, diğeri 4 m/s hızla hareket etmektedir. Çarpışmaları tamamen esnekse, her topun son hızı nedir?
1. Çözüm:Bu problemi çözerken bir koordinat sistemi seçmek önemlidir. Her şey düz bir çizgide gerçekleştiği için, sağa hareketin pozitif ve sola hareketin negatif olduğuna karar verebilirsiniz. İlk topun 2m/s hızla sağa doğru gittiğini varsayalım. İkinci topun hızı o zaman -4m/s'dir.
Sistemin çarpışmadan önceki toplam momentumu ve çarpışmadan önceki toplam kinetik enerjisi için bir ifade yazın:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} \\ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2
Her biri için bir ifade almak için değerleri girin:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = 2m - 4m = -2m \\ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 = \frac {1}{2}m (2)^2 + \frac{1}{2}m(-4)^2 = 10m
Kitleler için değerler verilmediğinden, her iki kütle de aynı olsa da, bazı basitleştirmelere izin veren bilinmeyen kaldıklarını unutmayın.
Çarpışmadan sonra momentum ve kinetik enerji için ifadeler:
mv_{1f} + mv_{2f} \\ \frac{1}{2}mv_{1f}^2 + \frac{1}{2}mv_{2f}^2
Başlangıç değerlerini her birinin son değerlerine eşit olarak ayarlayarak kütleleri iptal edebilirsiniz. Daha sonra iki denklem ve iki bilinmeyen miktardan oluşan bir sistemle baş başa kalırsınız:
mv_{1f} + mv_{2f} = -2m \v_{1f} + v{2f} = -2 \\ \frac{1}{2}mv_{1f}^2 + \frac{1}{2 anlamına gelir }mv_{2f}^2 = 10m \v_{1f}^2 + v{2f}^2 = 20 anlamına gelir
Sistemi cebirsel olarak çözmek aşağıdaki çözümleri verir:
v_{if} = -4 \text{ m/s} v_{2f} = 2 \text{ m/s}
İki top aynı kütleye sahip olduğu için, esasen hızlarını değiştirdiklerini not edeceksiniz.
Örnek 2:Doğuya saatte 20 mil hızla giden 1.200 kg'lık bir araba, saatte 15 mil hızla batıya giden 3.000 kg'lık bir kamyonla kafa kafaya çarpışıyor. İki araç çarpıştığında birbirine yapışıyor. Hangi son hızla hareket ederler?
2. Çözüm:Bu özel problem hakkında dikkat edilmesi gereken bir şey birimlerdir. Momentum için SI birimleri kg⋅m/s'dir. Ancak size kg cinsinden kütle ve saatte mil cinsinden hız verilir. Tüm hızlar tutarlı birimlerde olduğu sürece dönüştürmeye gerek olmadığını unutmayın. Son hızı bulduğunuzda, cevabınız saatte mil cinsinden olacaktır.
Sistemin başlangıç momentumu şu şekilde ifade edilebilir:
m_cv_{ci} + m_tv_{ti} = 1200 \times 20 - 3000 \times 15 = -21.000 \text{ kg}\times\text{mph}
Sistemin son momentumu şu şekilde ifade edilebilir:
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
Momentumun korunumu yasası size bu ilk ve son değerlerin eşit olması gerektiğini söyler. İlk momentumu son momentuma eşitleyerek ve son hızı aşağıdaki gibi çözerek son hızı çözebilirsiniz:
4200v_f = -21.000 \v_f = \frac{-21000{4200} = -5 \text{ mph} anlamına gelir
Örnek 3:Araba ve kamyon arasındaki esnek olmayan çarpışmayı içeren önceki soruda kinetik enerjinin korunmadığını gösterin.
Çözüm 3:Bu sistemin ilk kinetik enerjisi şuydu:
\frac{1}{2}m_cv_{ci}^2 + \frac{1}{2}m_tv_{ti}^2 = \frac{1}{2}(1200)(20)^2 + \frac{ 1}{2}(3000)(15)^2 = 557.500 \text{ kg (mph)}^2
Sistemin son kinetik enerjisi şuydu:
\frac{1}{2}(m_c + m_t) v_f^2 = \frac{1}{2}(1200 + 3000)5^2 = 52.500 \text{ kg (mph)}^2
İlk toplam kinetik enerji ve toplam nihai kinetik enerji eşit olmadığından, kinetik enerjinin korunmadığı sonucuna varabilirsiniz.