İki skaler miktarın çarpımı bir skalerdir ve bir vektör ile bir skalerin çarpımı bir vektördür, peki ya iki vektörün çarpımı? Bir skaler mi yoksa başka bir vektör mü? Cevap, o da olabilir!
Bir vektör ürünü almanın iki yolu vardır. Biri, bir skaler veren nokta ürünlerini almak, diğeri ise başka bir vektör veren çapraz ürünlerini almaktır. Hangi ürünün kullanıldığı, belirli senaryoya ve bulmaya çalıştığınız miktara bağlıdır.
İki vektörün çapraz çarpımı, vektöre dik yönü gösteren üçüncü bir vektör verir. iki vektör tarafından yayılan ve büyüklüğü iki vektörün göreli dikliğine bağlı olan düzlem vektörler.
Vektörlerin Çapraz Çarpım Tanımı
Önce birim vektörlerin çapraz çarpımını tanımlarız.ben, jvek(1 büyüklüğündeki vektörlerx-, y-vez- standart Kartezyen koordinat sisteminin bileşen yönleri) aşağıdaki gibidir:
\bold{i\times j} = \bold{k}\\ \bold{j\times k} = \bold{i}\\ \bold{k\times i} = \bold{j}\\ \bold {i\times i} = \bold{j\times j} = \bold{k\times k} = 0
Bu ilişkilerin anti-değişmeli olduğuna dikkat edin, yani çarpımını aldığımız vektörlerin sırasını değiştirirsek, çarpım işaretini değiştirir:
\bold{j\times i} = -\bold{k} \\ \bold{k\times j} = -\bold{i} \\ \bold{i\times k} = -\bold{j}
İki üç boyutlu vektörün çapraz çarpımının formülünü türetmek için yukarıdaki tanımları kullanabiliriz.. İlk önce vektörleri yazınbirvebaşağıdaki gibi:
\bold{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k} \\ \bold{b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\bold{k}
İki vektörü çarparak şunu elde ederiz:
\bold{a\times b} = (a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k}) \times (b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\ kalın{k}) \\ = a_xb_x\bold{i\times i} + a_xb_y\bold{i\times j} + a_xb_z\bold{i\times k} \\ + a_yb_x\bold{j\times i} + a_yb_y\bold{j\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} \\ + a_zb_x\bold{k\ çarpı i} + a_zb_y\bold{k\times j} + a_zb_z\bold{k\kez k}
Ardından, yukarıdaki birim vektör ilişkilerini kullanarak bu, aşağıdakileri basitleştirir:
\bold{a\times b} = a_xb_y\bold{i\times j} - a_xb_z\bold{k\times i} - a_yb_x\bold{i\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} + a_zb_x \bold{k\times i} - a_zb_y\bold{j\times k}\\ = (a_xb_y - a_yb_x)\bold{i\times j} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{k\times i} + (a_yb_z - a_zb_y)\bold{j\times k}\\ = (a_yb_z - a_zb_y)\bold{ i} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\kalın{k}
(Çapraz çarpımı 0 olan terimlerin nokta çarpımını oluşturan terimler olduğuna dikkat edin (skaler çarpım olarak da adlandırılır)!Bu bir tesadüf değil.)
Diğer bir deyişle:
\bold{a\times b} = \bold{c} = (c_x, c_y, c_z) \text{ burada} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Çapraz çarpımın büyüklüğü Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilir.
Çapraz çarpım formülü, aşağıdaki matrisin determinantı olarak da ifade edilebilir:
\bold{a\times b} = \Bigg|\begin{matrix} \bold{i}&\bold{j}&\bold{k}\\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z\end {matris}\Büyük| \\ = \Big|\begin{matrix}a_y & a_z \\b_y & b_z\end{matrix}\Big|\bold{i} -\Big|\begin{matrix}a_x & a_z\\b_x & b_z\end{matrix}\Big|\bold{j} + \Big|\begin {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{matrix}\Big|\bold{k}
\text{belirleyici } \Big|\begin{matris} a & b \\ c & d \end{matris}\Big| = reklam - bc
Çapraz ürünün bir başka, genellikle çok uygun formülasyonu şudur (türetme için bu makalenin sonuna bakın):
\bold{a × b} = |\bold{a}| |\kalın{b}| \sin (θ) \bold{n}
Nerede:
- |bir| vektörün büyüklüğü (uzunluğu)bir
- |b| vektörün büyüklüğü (uzunluğu)b
- θ arasındaki açıdır birve b
- ntarafından yayılan düzleme dik birim vektördür birveb
Dik Vektörler ve Sağ El Kuralı
Çapraz ürünün açıklamasında, çapraz ürünün yönünün vektörün kapsadığı düzleme dik olduğu belirtilir.birve vektörb. Ama bu geriye iki olasılık bırakıyor:dışındauçak veyaiçinebu vektörler tarafından yayılan düzlem. Gerçek şu ki, tutarlı olduğumuz sürece ikisinden birini seçebiliriz. Bununla birlikte, matematikçiler ve bilim adamları tarafından seçilen tercih edilen yön, buna rağmen, denilen bir şey tarafından belirlenir.sağ el kuralı.
Sağ el kuralını kullanarak bir vektör çapraz çarpımının yönünü belirlemek için sağ elinizin işaret parmağını vektör yönüne doğrultun.birve orta parmağınız vektör yönündeb. Başparmağınız daha sonra çapraz çarpım vektörünün yönünü gösterir.
Bazen bu talimatların düz bir kağıt parçası üzerinde gösterilmesi zordur, bu nedenle genellikle aşağıdaki sözleşmeler yapılır:
Sayfaya giren bir vektörü belirtmek için içinde X olan bir daire çiziyoruz (bunun, arkadan baktığınızda okun ucundaki kuyruk tüylerini temsil ettiğini düşünün). Sayfadan ters yönde giden bir vektörü belirtmek için içinde nokta bulunan bir daire çizeriz (bunu okun sayfanın dışına bakan ucu olarak düşünün).
•••hayır
Çapraz Ürünün Özellikleri
Aşağıdakiler, vektör çapraz çarpımının birkaç özelliğidir:
\#\Metin 1. } \bold{a} \text{ ve } \bold{b} \text{ paralelse, } \bold{a\times b} = 0
\#\metin{2. }\bold{a\kez b} = -\bold{b\kez a}
\#\metin{3. }\bold{a\times (b + c)} = \bold{a\times b} + \bold{a\times c}
\#\metin{4. }(c\bold{a)\times b} = c(\bold{a\times b})
\#\metin{5. }\bold{a\cdot (b\times c}) = \bold{(a\times b)\cdot c}
\text{Nerede }\bold{a\cdot (b\times c}) =\Bigg|\begin{matrix} a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z\end{matrix }\Büyük|
Çapraz Çarpımın Geometrik Yorumu
Vektör çapraz çarpımı günah (θ) cinsinden formüle edildiğinde, büyüklüğü iki vektör tarafından yayılan paralelkenar alanını temsil ediyor olarak yorumlanabilir. Bunun nedenibir × b, |b|sin (θ) = gösterildiği gibi paralelkenarın yüksekliği ve |bir| temeldir.
•••Dana Chen | bilim
Vektör üçlü çarpımının büyüklüğübir (b × c) vektörler tarafından yayılan paralelyüzün hacmi olarak yorumlanabilir.bir, bvec. Bunun nedeni ise(b × c) büyüklüğü vektörün kapladığı alan olan bir vektör verirbve vektörc, ve yönü o alana dik olan. Vektörün nokta çarpımını alarakbirbu sonuçla, esasen taban alanı ile yüksekliği çarpar.
Örnekler
Örnek 1:Yük parçacığı üzerindeki kuvvetqhızla hareket etmekvmanyetik alandaBtarafından verilir:
\bold{F} = q\bold{v\times B}
Bir elektronun 0.005 T'lik bir manyetik alandan 2×10 hızında geçtiğini varsayalım.7 Hanım. Alandan dik olarak geçerse hissedeceği kuvvet:
\bold{F} = q\bold{v\times B} = qvB\sin(\theta)\bold{n} = (-1.602\times 10^{19})(2\times 10^7)(0.005 )\sin (90)\bold{n} =-1.602\times 10^{-14}\text{ N}\bold{n}
Bununla birlikte, elektron alanla paralel hareket ediyorsa, o zaman θ = 0 ve sin (0) = 0, kuvveti 0 yapar.
Alandan dik olarak geçen elektron için bu kuvvetin onun dairesel bir yolda hareket etmesine neden olacağına dikkat edin. Bu dairesel yolun yarıçapı, manyetik kuvveti merkezcil kuvvete eşit olarak ayarlayarak ve yarıçapı çözerek bulunabilir.r:
F_{mag} = qvB\sin (90) = qvB = \frac{mv^2}{r} = F_{cent}\\ \implies r = \frac{mv}{qB}
Yukarıdaki örnek için, sayıların eklenmesi yaklaşık 0,0227 m'lik bir yarıçap verir.
Örnek 2:Fiziksel miktar torku da bir vektör çapraz çarpımı kullanılarak hesaplanır. eğer bir kuvvetFkonumunda bir nesneye uygulanırrpivot noktasından, torkτpivot noktası hakkında şu şekilde verilir:
\bold{\tau} = \bold{r\times F}
Diğer ucu bir pivota bağlı olan 0.75'lik bir çubuğun ucuna açılı olarak 7 N'lik bir kuvvetin uygulandığı durumu düşünün. arasındaki açırveF70 derecedir, dolayısıyla tork hesaplanabilir:
\bold{\tau} = \bold{r\times F} = rF\sin(\theta) = (0,75)(7)\sin (70)\bold{n} = 4,93 \text{Nm }\bold{ n}
Tork yönü,n, sağ el kuralı ile bulunur. Yukarıdaki resme uygulanırsa, sayfadan veya ekrandan çıkan bir yön verir. Genel olarak, bir nesneye uygulanan tork, nesnenin dönmesine neden olmak isteyecektir. Tork vektörü her zaman dönüş ekseniyle aynı yönde olacaktır.
Aslında, bu durumda basitleştirilmiş bir sağ el kuralı kullanılabilir: Dönme eksenini "yakalamak" için sağ elinizi kullanın. parmaklarınız ilgili torkun nesnenin dönmesine neden olmak isteyeceği yönde kıvrılacak şekilde. Başparmağınız daha sonra tork vektörünün yönünü gösteriyor.
Çapraz Ürün Formülünün Türetilmesi
\text{Burada çapraz çarpım formülünün } \bold{a × b} = |\bold{a}| |\kalın{b}| \sin (θ) \bold{n} \text{ türetilebilir.}
İki vektör düşününbirvebaçı ileθonların arasında. Vektörün ucundan bir çizgi çizerek bir dik üçgen oluşturulabilir.birvektör üzerinde dikey bir temas noktasınab.
Pisagor teoremini kullanarak aşağıdaki ilişkiyi elde ederiz:
\Big|\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Big)\bold{b}\Big|^2 + (|\bold{a} |\sin(\theta))^2 = |\kalın{a}|^2
\text{Burada }\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Big)\bold{b} \text{ } \bold vektörünün izdüşümüdür {a} \text{ vektör } \bold{b} üzerine.
İfadeyi biraz sadeleştirerek aşağıdakileri elde ederiz:
\frac{|\bold{a\cdot b}|^2}{|\bold{b}|^2} + |\bold{a}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{ a}|^2
Ardından, denklemin her iki tarafını |b|2 ve aşağıdakileri elde etmek için ilk terimi sağ tarafa taşıyın:
|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{ a\cdot b}|^2
Sağ tarafla çalışarak her şeyi çarpın ve ardından basitleştirin:
|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{a\cdot b}|^2 = [(a_x)^2 + (a_y)^2 + (a_z)^2 ][(b_x)^2 + (b_y)^2 + (b_z)^2]\\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z)(a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y)^2 + (a_xb_z)^ 2 + (a_yb_x)^2 + (a_yb_z)^2 + (a_zb_x)^2 + a_zb_y)^2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\b = (a_yb_y) + (a_yb_y) (a_xb_y - a_yb_x)^2\\ = |\bold{a\times b}|^2
Sonucu önceki denklemin sol tarafına eşitleyerek aşağıdaki ilişkiyi elde ederiz:
|\kalın{a\kez b}| = |\bold{a}||\kalın{b}||\sin(\theta)|
Bu bize formülde büyüklüklerin aynı olduğunu gösterir, bu yüzden formülü kanıtlamak için yapılacak son şey yönlerin de aynı olduğunu göstermektir. Bu sadece nokta çarpımları alınarak yapılabilir.birilebir × bvebilebir × bve 0 olduklarını göstererek, yönünü ima eder.bir × b ikisine de diktir.