İki skaler miktarın çarpımı bir skalerdir ve bir vektör ile bir skalerin çarpımı bir vektördür, peki ya iki vektörün çarpımı? Bir skaler mi yoksa başka bir vektör mü? Cevap, her ikisi de olabilir!
Vektörleri birlikte çarpmanın iki yolu vardır. Biri, bir skaler veren nokta ürünlerini almak, diğeri ise başka bir vektör veren çapraz ürünlerini almaktır. Hangi ürünün kullanılacağı, belirli senaryoya ve bulmaya çalıştığınız miktara bağlıdır.
nokta ürünbazen olarak anılırskaler ürünveyaiç ürün. Geometrik olarak, iki vektör arasındaki nokta çarpımını, yalnızca aynı yöndeki katkıları sayan vektör değerlerini çarpmanın bir yolu olarak düşünebilirsiniz.
- Not: Nokta çarpımlar negatif veya pozitif olabilir, ancak bu işaret bir yön göstergesi değildir. Bir boyutta, vektör yönü genellikle işaretle gösterilse de, skaler niceliklerde yön göstergesi olmayan işaretler de olabilir. Borç bunun birçok örneğinden sadece biridir.
Nokta Ürün Tanımı
Vektörlerin nokta çarpımıbir = (birx, biry)veb = (bx, by)standart bir Kartezyen koordinat sisteminde aşağıdaki gibi tanımlanır:
\bold{a\cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Bir vektörün kendisiyle nokta çarpımını aldığınızda ortaya ilginç bir ilişki çıkıyor:
\bold{a\cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = |\bold{a}|^2
Nerede |bir| büyüklüğü (uzunluğu)birPisagor teoremi ile.
Başka bir nokta çarpım formülü, kosinüs yasası kullanılarak türetilebilir. Bu şu şekilde yapılır:
Sıfır olmayan vektörleri düşününbirvebonların fark vektörü ile birliktea - b. Üç vektörü bir üçgen oluşturacak şekilde düzenleyin.
Trigonometriden kosinüs yasası bize şunu söyler:
|\bold{ab}|^2 = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta )
Ve elde ettiğimiz nokta çarpım tanımını kullanarak:
|\bold{ab}|^2 = (\bold{ab})\cdot (\bold{ab}) = (a_x-b_X)^2 + (a_y-b_y)^2\\ = (a_x)^2 + (b_x)^2 - 2a_xb_x + (a_y)^2 + (b_y)^2 - 2a_yb_y\\ = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2\bold{a \cdot b}
Her iki ifadeyi de eşitleyip sadeleştirerek şunu elde ederiz:
\cancel{|\bold{a}|^2} + \cancel{|\bold{b}|^2} - 2\bold{a \cdot b} = \cancel{|\bold{a}|^2 } + \iptal{|\bold{b}|^2} - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\text{ }\\\implies \boxed{\bold{a \cdot b} = |\bold{a} ||\kalın{b}|\cos(\theta)}
Bu formülasyon geometrik sezgimizin devreye girmesini sağlar. miktar |bir|cos (θ) vektörün izdüşümünün büyüklüğüdürbirvektör üzerineb.
Böylece nokta çarpımı bir vektörün diğerine izdüşümü ve ardından değerlerinin çarpımı olarak düşünebiliriz. Başka bir deyişle, bir vektörün kendisi ile aynı doğrultudaki miktarı ile diğer vektörün çarpımı olarak görülebilir.
Nokta Ürününün Özellikleri
Aşağıdakiler, yararlı bulabileceğiniz nokta çarpımının birkaç özelliğidir:
\#\Metin 1. } \theta = 0\text{ ise, } \bold{a \cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|
Bunun nedeni cos (0) = 1.
\#\metin{2. } \theta = 180\text{ ise, }\bold{a \cdot b} = -|\bold{a}||\bold{b}|
Bunun nedeni, cos (180) = -1'dir.
\#\metin{3. } \theta = 90\text{ ise, o zaman } \bold{a \cdot b} = 0
Bunun nedeni cos (90) = 0 olmasıdır.
- Not: 0 için <
θ
< 90, nokta çarpım pozitif olacak ve 90 < için
θ
< 180, nokta çarpım negatif olacaktır.
\#\metin{4. } \bold{a\cdot b} = \bold{b\cdot a}
Bu, değişme yasasını nokta çarpım tanımına uygulamaktan kaynaklanır.
\#\metin{5. } \bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a\cdot b} + \bold{a\cdot c}
Kanıt:
\bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a}\cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ =a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y)\\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y)\\ = \bold{a\cdot b} + \bold{a\cdot c}
\#\metin{6. } c(\bold{a\cdot b}) = (c\bold{a})\cdot \bold{b}
Kanıt:
c(\bold{a\cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y)\\ = ca_xb_x + ca_yb_y\\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y\\ = (c\bold{a})\cdot \ kalın{b}
Nokta Ürün Nasıl Bulunur?
Örnek 1:Fizikte bir kuvvetin yaptığı işFyer değiştirmeye maruz kalan bir nesne üzerinded, olarak tanımlanır:
W=\bold{F}\cdot \bold{d} = |\bold{F}||\bold{d}|\cos(\theta)
Burada θ kuvvet vektörü ile yer değiştirme vektörü arasındaki açıdır.
Bir kuvvetin yaptığı iş, o kuvvetin yer değiştirmeye ne kadar katkıda bulunduğunun bir göstergesidir. Kuvvet, yer değiştirme ile aynı yönde ise (cos (θ) = 0), maksimum katkısını yapar. Yer değiştirmeye dik ise (cos(Ѳ) = 90), hiçbir katkısı yoktur. Ve yer değiştirmenin tersi ise (cos (θ) = 180), negatif bir katkı yapar.
Bir çocuğun, ray hattına göre 25 derecelik bir açıyla 5 N'luk bir kuvvet uygulayarak bir oyuncak treni ray boyunca ittiğini varsayalım. Çocuk treni 0,5 m hareket ettirdiğinde trende ne kadar iş yapar?
Çözüm:
F = 5 \text{ N}\\ d = 0,5\text{ m}\\ \theta = 25\derece\\
İşin nokta çarpım tanımını kullanarak ve değerleri ekleyerek şunları elde ederiz:
W = Fd\cos(\theta) = 5\times0.5\times\cos (25) = \boxed{2.27\text{ J}}
Bu somut örnekten, yer değiştirme yönüne dik bir kuvvet uygulamanın hiçbir işe yaramadığı daha da açık olmalıdır. Çocuk treni raya dik açıyla iterse, tren ray boyunca ileri veya geri hareket etmeyecektir. Çocuğun trende yaptığı işin açı küçüldükçe ve kuvvet ve yer değiştirme hizaya yaklaştıkça artacağı da sezgiseldir.
Örnek 2:Güç, bir nokta çarpımı kullanılarak hesaplanabilen başka bir fiziksel nicelik örneğidir. Fizikte güç, işin zamana bölünmesine eşittir, ancak gösterildiği gibi kuvvet ve hızın nokta çarpımı olarak da yazılabilir:
P = \frac{W}{t} = \frac{\bold{F\cdot d}}{t} = \bold{F}\cdot \frac{\bold{d}}{t} = \bold{ F\cdot v}
Neredevhızdır.
Trenle oynayan çocuğun önceki örneğini düşünün. Bunun yerine, trenin raydan aşağı 2 m/s hızla hareket etmesine neden olan aynı kuvvetin uygulandığı söylenirse, gücü bulmak için nokta çarpımını kullanabiliriz:
P = \bold{F\cdot v} = Fv\cos(\theta) = 5\times2\times\cos (25) = 9,06\text{ Watt}
Örnek 3:Fizikte nokta çarpımlarının kullanıldığı bir başka örnek de manyetik akı durumundadır. Manyetik akı, belirli bir alandan geçen manyetik alan miktarıdır. Manyetik alanın nokta ürünü olarak bulunur.Balan ilebir. (Bir alan vektörünün yönünormalveya alanın yüzeyine dik.)
\Phi=\bold{B\cdot A}
0,02 Tesla'lık bir alanın 10 cm yarıçaplı bir tel halkadan geçtiğini ve normal ile 30 derecelik bir açı yaptığını varsayalım. Akış nedir?
\Phi=\bold{B\cdot A} = BA\cos(\theta) = 0.02\times(\pi\times0.1^2)\times\cos (30) = 0.000544\text{ Wb}
Bu akı değiştiğinde, ya alan değerini değiştirerek, döngü alanını değiştirerek ya da Döngüyü veya alan kaynağını döndürerek açı, döngüde akım indüklenecek, elektrik!
Açının sezgisel bir şekilde nasıl alakalı olduğuna tekrar dikkat edin. Açı 90 derece olsaydı, bu, alanın alanla aynı düzlem boyunca uzanacağı ve hiçbir alan çizgisinin döngüden geçmeyeceği ve akı ile sonuçlanmayacağı anlamına gelir. Akı miktarı, alan ile normal arasındaki açı 0'a yaklaştıkça artar. Nokta çarpım, alanın ne kadarının yüzeye dik doğrultuda olduğunu belirlememize olanak tanır ve dolayısıyla akıya katkıda bulunur.
Vektör Projeksiyonu ve Nokta Çarpımı
Daha önceki bölümlerde, nokta çarpımının bir vektörü diğerine yansıtmanın ve ardından büyüklüklerini çarpmanın bir yolu olarak düşünülebileceğinden söz edilmişti. Bu nedenle, vektör projeksiyonu formülünün nokta çarpımından türetilebilmesi şaşırtıcı olmamalıdır.
Vektörü yansıtmak içinbirvektör üzerineb, nokta çarpımını alıyoruzbirBirliktebirim vektöryönündebve ardından bu skaler sonucu aynı birim vektörle çarpın.
Birim vektör, belirli bir yönde uzanan 1 uzunluğunda bir vektördür. Vektör yönünde birim vektörbsadece vektörbbüyüklüğüne bölünür:
\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|}
Yani bu projeksiyon o zaman:
\text{}\bold{a}\text{'nin }\bold{b} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} üzerine izdüşümü \Big)\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|^ 2}\Büyük)\kalın{b}
Yüksek Boyutlu Nokta Ürün
Vektörlerin daha yüksek boyutta olması gibi, nokta çarpımı da var. Yine treni iten çocuğun örneğini hayal edin. Farz edelim ki hem aşağı doğru hem de rayın kenarına açılı olarak itiyor. Standart bir koordinat sisteminde, kuvvet ve yer değiştirme vektörlerinin üç boyutlu olarak temsil edilmesi gerekir.
İçindenboyutlar, nokta çarpım aşağıdaki gibi tanımlanır:
\bold{a\cdot b} = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n
Daha önceki tüm aynı nokta çarpım özellikleri hala geçerlidir ve kosinüs yasası bir kez daha ilişkiyi verir:
\bold{a \cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)
Pisagor teoremi ile tutarlı olarak, her vektörün büyüklüğü aşağıdaki şekilde bulunur:
|\bold{a}|=\sqrt{\bold{a\cdot a}}=\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+...+(a_n)^2}
Üç Boyutta Nokta Ürün Nasıl Bulunur?
Örnek 1:Nokta çarpım, özellikle iki vektör arasındaki açının bulunması gerektiğinde kullanışlıdır. Örneğin, arasındaki açıyı belirlemek istediğimizi varsayalım.bir= (2, 3, 2) veb= (1, 4, 0). Bu iki vektörü 3 uzayda çizseniz bile, kafanızı geometrinin etrafına sarmak çok zor olabilir. Ancak matematik, aşağıdaki gerçeği kullanarak oldukça basittir:
\bold{a \cdot b}=|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\implies \theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\ kalın{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Big)
Daha sonra nokta çarpımını hesaplamakbirveb:
\bold{a\cdot b}=2\times1+3\times4+2\times0=14
Ve her vektörün büyüklüklerini hesaplamak:
|\bold{a}|=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17}=4.12\\|\bold{b}|=\sqrt{1^2+4^ 2+0^2}=\sqrt{17}=4.12
Ve sonunda her şeyi fişe takarak şunları elde ederiz:
\theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Big)=\cos^{- 1}\Big(\frac{14}{4.12\times 4.12}\Big)=\boxed{34.4\degree}
Örnek 2:Pozitif bir yük, üç boyutlu uzayda (3, 5, 4) koordinat noktasında bulunur. Vektör yönünü gösteren çizgi boyunca hangi noktadabir= (6, 9, 5) elektrik alanı en büyüktür?
Çözüm: Elektrik alan kuvvetinin mesafeyle nasıl ilişkili olduğuna dair bilgimizden biliyoruz ki, nokta pozitif yüke en yakın olan doğru üzerinde alanın en güçlü. Nokta çarpımlar hakkındaki bilgimizden, burada izdüşüm formülünü kullanmanın mantıklı olduğunu tahmin edebiliriz. Bu formül bize, ucu tam olarak aradığımız noktada olan bir vektör vermelidir.
Hesaplamamız gerekiyor:
\text{}(3, 5, 4)\text{'nin }\bold{a}=\Big((3,5,4)\cdot\frac{\bold{a}}{|\bold{ üzerine projeksiyonu) a}|^2}\Büyük)\kalın{a}
Bunu yapmak için önce bulalım |bir|2:
|\bold{a}|^2=6^2+9^2+5^2=142
Ardından nokta çarpımı:
(3,5,4)\cdot (6,9,5)=3\times6+5\times9+4\times5=83
Bunu bölerek |bir|2 83/142 = 0,585 verir. Sonra bu skaleri ile çarparakbirverir:
0,585\bold{a}=0.585 \times (6,9,5)=(3,51,5,27,2,93)
Bu nedenle, çizgi boyunca alanın en güçlü olduğu nokta (3.51, 5.27, 2.93) olur.