Schrödinger denklemi, kuantum mekaniğindeki en temel denklemdir ve nasıl kullanılacağını ve ne anlama geldiğini öğrenmek, gelişmekte olan herhangi bir fizikçi için çok önemlidir. Denklem, 1933'te kuantum fiziğine katkılarından dolayı Paul Dirac ile birlikte Nobel Ödülü'nü kazanan Erwin Schrödinger'in adını almıştır.
Schrödinger denklemi, bir kuantum mekanik sistemin dalga fonksiyonunu tanımlar. bir parçacığın konumu ve onun gibi diğer gözlemlenebilir nicelikler hakkında olasılıksal bilgi itme. Denklemi öğrendikten sonra kuantum mekaniği hakkında fark edeceğiniz en önemli şey, kuantum alemindeki yasalarınçok farklıklasik mekaniğinkilerden.
Dalga Fonksiyonu
Dalga fonksiyonu, kuantum mekaniğindeki en önemli kavramlardan biridir, çünkü her parçacık bir dalga fonksiyonu ile temsil edilir. Genellikle Yunan harfi psi (Ψ) ve pozisyona ve zamana bağlıdır. Bir parçacığın dalga fonksiyonu için bir ifadeniz olduğunda, hakkında bilinebilecek her şeyi size söyler. fiziksel sistem ve gözlemlenebilir miktarlar için farklı değerler, bir operatöre uygulanarak elde edilebilir. o.
Dalga fonksiyonunun modülünün karesi size parçacığı bir konumda bulma olasılığını söyler.xbelirli bir zamandat. Bu, yalnızca fonksiyonun "normalleştirilmiş" olması durumunda geçerlidir; bu, tüm olası konumlar üzerindeki kare modülün toplamının 1'e eşit olması gerektiği anlamına gelir, yani parçacıkbelirliyer almakbir yerde.
Dalga fonksiyonunun yalnızca olasılıksal bilgi sağladığını ve bu nedenle herhangi bir gözlemin sonucunu tahmin edemediğinizi unutmayın.YapabilmekBirçok ölçüm üzerinden ortalamayı belirleyin.
hesaplamak için dalga fonksiyonunu kullanabilirsiniz.“beklenti değeri”parçacığın o andaki konumu içintortalama değeri olan beklenti değeri ilexölçümü birçok kez tekrarlarsanız elde edersiniz.
Yine, bu size belirli bir ölçüm hakkında hiçbir şey söylemez. Aslında dalga fonksiyonu, somut ve güvenilir herhangi bir şeyden çok, tek bir parçacık için bir olasılık dağılımıdır. Uygun operatörü kullanarak momentum, enerji ve diğer gözlemlenebilir miktarlar için de beklenti değerleri elde edebilirsiniz.
Schrödinger Denklemi
Schrödinger denklemi, bir sistemin evrimini tanımlayan lineer kısmi diferansiyel denklemdir. kuantum durumu, klasikte Newton yasalarına (özellikle ikinci yasa) benzer şekilde mekanik.
Bununla birlikte, Schrödinger denklemi, söz konusu parçacığın dalga fonksiyonu için bir dalga denklemidir ve bu nedenle denklemin gelecekteki durumu tahmin etmek için kullanılması bazen "dalga mekaniği" olarak adlandırılır. Denklemin kendisi enerjinin korunumundan türetilmiştir ve adı verilen bir operatör etrafında inşa edilmiştir. Hamiltoniyen.
Schrödinger denkleminin yazılacak en basit şekli şudur:
H Ψ = iℏ \frac{\partialΨ}{\partial t}
ℏ, indirgenmiş Planck sabitidir (yani sabitin 2π'ye bölümü) veHkuantum sisteminin potansiyel enerjisi ve kinetik enerjisinin (toplam enerji) toplamına karşılık gelen Hamilton operatörüdür. Hamiltonian oldukça uzun bir ifade olsa da, tam denklem şu şekilde yazılabilir:
−\frac{ ℏ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\partial x^2} + V(x) Ψ == iℏ \frac{\partialΨ}{\partial t}
Bazen (açıkça üç boyutlu problemler için), birinci kısmi türevin Laplacian operatörü olarak yazıldığına dikkat edilerek ∇2. Esasen, Hamiltonyen, uzay ve zamandaki evrimini tanımlamak için dalga fonksiyonu üzerinde hareket eder. Ancak denklemin zamandan bağımsız versiyonunda (yani sistemt), Hamiltonian sistemin enerjisini verir.
Schrödinger denklemini çözmek,kuantum mekanik dalga fonksiyonuBu, belirli bir durum için onu tatmin eder.
Zamana Bağlı Schrödinger Denklemi
Zamana bağlı Schrödinger denklemi, önceki bölümün versiyonudur ve bir parçacık için zaman ve uzayda dalga fonksiyonunun evrimini açıklar. Göz önünde bulundurulması gereken basit bir durum serbest parçacıktır çünkü potansiyel enerjiV= 0 ve çözüm bir düzlem dalga şeklini alıyor. Bu çözümler şu şekildedir:
Ψ = Ae^{kx −ωt}
Neredek = 2π / λ, λdalga boyudur veω = E / ℏ.
Diğer durumlar için, orijinal denklemin potansiyel enerji kısmı, aşağıdakiler için sınır koşullarını tanımlar. dalga fonksiyonunun uzaysal kısmıdır ve genellikle zaman-evrim fonksiyonu ve zamandan bağımsız bir fonksiyona ayrılır. denklem.
Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi
Duran dalgalar oluşturan statik durumlar veya çözümler için (potansiyel kuyusu, “kutudaki parçacık” tarzı çözümler gibi), dalga fonksiyonunu zaman ve uzay bölümlerine ayırabilirsiniz:
Ψ(x, t) = Ψ(x) f (t)
Bunu tam olarak yaptığınızda, zaman kısmı iptal edilebilir ve geriye Schrödinger denkleminin bir formu kalır.sadeceparçacığın konumuna bağlıdır. Zamandan bağımsız dalga fonksiyonu daha sonra şu şekilde verilir:
H Ψ(x) = E Ψ(x)
BurayaEkuantum mekanik sistemin enerjisidir veHHamilton operatörüdür. Denklemin bu formu, dalga fonksiyonu ile bir özdeğer denkleminin tam şeklini alır. özfonksiyon olmak ve Hamilton operatörü uygulandığında enerji özdeğer olmak ona. Hamiltoniyeni daha açık bir forma genişleterek tam olarak şu şekilde yazılabilir:
−\frac{ ℏ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\partial x^2} + V(x) Ψ = E Ψ(x)
Denklemin zaman kısmı fonksiyonda bulunur:
f (t) = e^{\frac{iEt}{ℏ}}
Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemine Çözümler
Zamandan bağımsız Schrödinger denklemi, denklemin tam biçimini kısalttığı için oldukça basit çözümlere uygundur. Bunun mükemmel bir örneği, parçacığın bir boyutta sonsuz kare potansiyelde olduğu varsayıldığı, dolayısıyla sıfır potansiyelin olduğu (yani potansiyelin sıfır olduğu) "kutudaki parçacık" çözüm grubudur.V= 0) boyunca ve parçacığın kuyunun dışında bulunma şansı yoktur.
Ayrıca kuyunun “duvarlarındaki” potansiyelin sonsuz olmadığı ve parçacığın enerjisinden daha yüksek olsa bile, sonlu bir kare kuyu vardır.birazkuantum tünelleme nedeniyle onun dışındaki parçacığı bulma olasılığı. Sonsuz potansiyel kuyusu için çözümler şu şekildedir:
Ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
NeredeLkuyunun uzunluğudur.
Bir delta fonksiyon potansiyeli, genişlik dışında potansiyel kuyusuna çok benzer bir kavramdır.Lsıfıra gidiyor (yani, tek bir nokta etrafında sonsuz küçük olmak) ve kuyunun derinliği sonsuza gidiyorken, ikisinin çarpımı (sen0) sabit kalır. Bu çok idealleştirilmiş durumda, aşağıdakiler tarafından verilen yalnızca bir bağlı durum vardır:
Ψ(x) = \frac{\sqrt{mU_0}}{ℏ}e^{-\frac{mU_0}{ℏ^2}\vert x\vert}
Enerji ile:
E = - \frac{mU_0^2}{2ℏ^2}
Schrödinger Denklemine Hidrojen Atom Çözümü
Son olarak, hidrojen atomu çözümü, gerçek dünya fiziğine açık uygulamalara sahiptir, ancak pratikte durum bir hidrojen atomunun çekirdeğinin etrafındaki bir elektron için potansiyel kuyusuna oldukça benzer olarak görülebilir. sorunlar. Ancak durum üç boyutludur ve en iyi küresel koordinatlarda tanımlanır.r, θ, ϕ. Bu durumda çözüm şu şekilde verilir:
Ψ(x) = NR_{n, l}(r) P^m_{l}(\cos θ)e^{imϕ}
NeredePLegendre polinomları,$özel radyal çözümlerdir veNdalga fonksiyonunun normalleştirilmesi gerektiği gerçeğini kullanarak sabitlediğiniz bir sabittir. Denklem, aşağıdakiler tarafından verilen enerji seviyelerini verir:
E = - \frac{\mu Z^2e^4}{8ϵ_0h^2n^2}
NeredeZburada atom numarası (yaniZ= bir hidrojen atomu için 1),ebu durumda bir elektronun yüküdür (sabite = 2.7182818...), ϵ0 boş alanın geçirgenliği veμbir hidrojen atomundaki proton ve elektronun kütlelerine dayanan indirgenmiş kütledir. Bu ifade, herhangi bir hidrojen benzeri atom için iyidir, yani bir merkezi çekirdeğin yörüngesinde dönen bir elektronun olduğu herhangi bir durum (iyonlar dahil).