İster kollarını çekip onun kadar hızlı dönen bir buz patencisi, isterse ne kadar hızlı döndüğünü kontrol eden bir kedi olsun. Bir düşüş sırasında, ayakları üzerine düştüğünden emin olmak için, bir atalet momenti kavramı, dönme fiziği için çok önemlidir. hareket.
Aksi halde dönme atalet olarak bilinen atalet momenti, kütlenin dönme analoğudur. Newton'un hareket yasalarının ikincisi, bir nesnenin açısal ivmeye direnme eğilimini tanımlar.
Kavram ilk başta çok ilginç görünmeyebilir, ancak açısalın korunumu yasası ile birlikte momentum, birçok büyüleyici fiziksel olayı tanımlamak ve geniş bir aralıktaki hareketi tahmin etmek için kullanılabilir. durumlar.
Atalet Momentinin Tanımı
Bir nesne için eylemsizlik momenti, kütlenin dönme ekseni etrafındaki dağılımını hesaba katarak açısal ivmeye karşı direncini tanımlar.
Esasen, bir nesnenin dönüş hızını değiştirmenin ne kadar zor olduğunu, bunun dönüşünü başlatmak, durdurmak veya halihazırda dönen bir nesnenin hızını değiştirmek anlamına gelip gelmediğini ölçer.
Bazen dönme ataleti olarak adlandırılır ve bunu Newton'un ikinci yasasında kütlenin bir benzeri olarak düşünmek faydalıdır:Fağ = anne. Burada, bir nesnenin kütlesine genellikle eylemsizlik kütlesi denir ve nesnenin (doğrusal) harekete karşı direncini tanımlar. Dönme eylemsizliği, dönme hareketi için aynen böyle çalışır ve matematiksel tanım her zaman kütleyi içerir.
Dönme hareketi için ikinci yasaya eşdeğer ifade,tork (τ, kuvvetin dönme analogu) açısal ivmeyeαve eylemsizlik momentiben:
\tau =I\alfa
Aynı nesne birden fazla atalet momentine sahip olabilir, çünkü tanımın büyük bir kısmı kütle dağılımı ile ilgiliyken, aynı zamanda dönme ekseninin konumunu da hesaba katar.
Örneğin, merkezi etrafında dönen bir çubuğun eylemsizlik momentiben = makine öğrenimi2/12 (neredeMkütledir veLçubuğun uzunluğu), bir ucu etrafında dönen aynı çubuğun atalet momenti şu şekildedir:ben = makine öğrenimi2/3.
Eylemsizlik Momenti Denklemleri
Yani bir cismin eylemsizlik momenti kütlesine bağlıdırM, yarıçapı$ve dönme ekseni.
Bazı durumlarda,$olarak anılırd, dönme ekseninden uzaklık için ve diğerlerinde (önceki bölümdeki çubukta olduğu gibi) uzunluk ile değiştirilir,L. Sembolbenatalet momenti için kullanılır ve kg m birimlerine sahiptir.2.
Şimdiye kadar öğrendiklerinize dayanarak tahmin edebileceğiniz gibi, eylemsizlik momenti için birçok farklı denklem vardır ve her biri belirli bir şekle ve belirli bir dönme eksenine atıfta bulunur. Tüm eylemsizlik momentlerinde, terimBAY2 görünür, ancak farklı şekiller için bu terimin önünde farklı kesirler vardır ve bazı durumlarda birden fazla terim bir araya toplanabilir.
BAY2 bileşen, uzaktaki bir nokta kütle için atalet momentidir$Belirli bir katı cisim için denklem, nokta kütlelerinin toplamı olarak veya nesne üzerinde sonsuz sayıda küçük nokta kütlesi entegre edilerek oluşturulur.
Bazı durumlarda, bir nesnenin atalet momentini nokta kütlelerinin basit bir aritmetik toplamına veya entegre, pratikte, türetmeye gerek kalmadan basitçe kullanabileceğiniz ortak dönüş şekilleri ve eksenleri için birçok sonuç vardır. ilk:
Katı silindir (simetri ekseni):
Ben = \frac{1}{2} MR^2
Katı silindir (merkezi çap ekseni veya silindirin ortasındaki dairesel kesitin çapı):
Ben = \frac{1}{4} MR^2+\frac{1}{12} ML^2
Katı küre (orta eksen):
Ben = \frac{2}{5} MR^2
İnce küresel kabuk (orta eksen):
Ben = \frac{2}{3} MR^2
Çember (simetri ekseni, yani merkezden dikey olarak):
ben = MR^2
Çember (çap ekseni, yani çember tarafından oluşturulan dairenin çapı boyunca):
Ben = \frac{1}{2} MR^2
Çubuk (merkez eksen, çubuk uzunluğuna dik):
Ben = \frac{1}{12} ML^2
Çubuk (uç etrafında dönen):
Ben = \frac{1}{3} ML^2
Dönme Eylemsizliği ve Dönme Ekseni
Her dönme ekseni için neden farklı denklemler olduğunu anlamak, eylemsizlik momenti kavramını kavramak için önemli bir adımdır.
Bir kalem düşünün: Ortadan, uçtan veya merkez ekseni etrafında çevirerek döndürebilirsiniz. Bir nesnenin dönme eylemsizliği, kütlenin dönme ekseni etrafındaki dağılımına bağlı olduğundan, bu durumların her biri farklıdır ve onu tanımlamak için ayrı bir denklem gerektirir.
Aynı argümanı 30 fitlik bir bayrak direğine kadar ölçeklendirirseniz, atalet momenti kavramını içgüdüsel olarak anlayabilirsiniz.
Onu uçtan uca döndürmek çok zor olurdu - eğer başarabilirseniz - oysa direği merkezi ekseni etrafında döndürmek çok daha kolay olurdu. Bunun nedeni, torkun dönme ekseninden olan mesafeye ve 30 fitlik mesafeye büyük ölçüde bağlı olmasıdır. bayrak direği örneği, uçtan uca döndürmek, her bir uç ucu, eksenden 15 fit uzakta içerir. rotasyon.
Ancak merkezi eksen etrafında döndürürseniz, her şey eksene oldukça yakındır. Durum, ağır bir cismi kol mesafesinde taşımaya benzer. vücudunuza yakın tutmak veya uçtan bir kolu çalıştırmak vs. dayanak noktasına yakın.
Bu nedenle, aynı nesne için dönme eksenine bağlı olarak atalet momentini tanımlamak için farklı bir denkleme ihtiyacınız vardır. Seçtiğiniz eksen, vücudun kütlesi aynı kalsa bile, vücudun bölümlerinin dönme ekseninden ne kadar uzakta olduğunu etkiler.
Atalet Momenti Denklemlerini Kullanma
Katı bir cisim için atalet momentini hesaplamanın anahtarı, uygun denklemleri kullanmayı ve uygulamayı öğrenmektir.
Bir önceki bölümdeki kalemi, uzunluğu boyunca merkezi bir nokta etrafında uçtan uca bükülmüş olarak düşünün. Bir değilkenmükemmelçubuk (örneğin sivri uç bu şekli kırar) sizi nesne için tam bir atalet türetme momentinden geçmek zorunda kalmadan kurtarmak için bu şekilde modellenebilir.
Nesneyi bir çubuk olarak modelleyerek, kalemin toplam kütlesi ve uzunluğu ile birlikte eylemsizlik momentini bulmak için aşağıdaki denklemi kullanırsınız:
Ben = \frac{1}{12} ML^2
Daha büyük bir zorluk, bileşik nesneler için atalet momentini bulmaktır.
Örneğin, bir çubukla birbirine bağlı iki top düşünün (sorunu basitleştirmek için kütlesiz olarak ele alacağız). Birinci bilye 2 kg ve dönüş ekseninden 2 m uzaklıkta, ikinci bilye ise kütle olarak 5 kg ve dönüş ekseninden 3 m uzaktadır.
Bu durumda, her topun bir nokta kütlesi olduğunu düşünerek ve aşağıdaki temel tanımdan yola çıkarak bu bileşik nesne için eylemsizlik momentini bulabilirsiniz:
\begin{hizalanmış} I &= m_1r_1^2 + m_2r_2^2 + m_3r_3^2….\\ &= \sum_{\mathclap{i}}m_ir_i^2 \end{hizalı}
Farklı nesneler arasında basitçe ayrım yapan aboneliklerle (yani, top 1 ve top 2). İki top nesnesi daha sonra şunlara sahip olacaktır:
\begin{hizalanmış} I &= m_1r_1^2 + m_2r_2^2\\ &= 2 \;\text{kg} × (2 \;\text{m})^2 + 5 \;\text{kg} × (3 \;\text{m})^2 \\ &= 8 \;\text{kg m}^2 + 45 \;\text{kg m}^2 \\ &= 53 \;\text{kg m}^2 \end{hizalanmış}
Eylemsizlik Momenti ve Açısal Momentumun Korunumu
Açısal momentum (doğrusal momentum için dönme analogu), dönme ataletinin (yani, atalet momenti, atalet momenti) ürünü olarak tanımlanır.ben) nesnenin ve açısal hızıω), derece/s veya rad/s cinsinden ölçülür.
Şüphesiz lineer momentumun korunumu yasasına aşina olacaksınız ve açısal momentum da aynı şekilde korunur. açısal momentum denklemiL) dır-dir:
L = ben
Bunun pratikte ne anlama geldiğini düşünmek birçok fiziksel olayı açıklar, çünkü (başka kuvvetlerin yokluğunda), bir nesnenin dönme eylemsizliği ne kadar yüksek olursa, açısal hızı o kadar düşük olur.
Kolları uzatılmış sabit açısal hızda dönen bir buz patenci düşünün ve kollarının uzanmış olmasının yarıçapı artırdığına dikkat edin.$kütlesinin etrafında dağıldığı, kolların vücuduna yakın olmasından daha büyük bir atalet momentine yol açar.
EğerL1 uzanmış kolları ile hesaplanır veL2, kollarını içeri çektikten sonra aynı değere sahip olmalıdır (çünkü açısal momentum korunur), kollarını çekerek eylemsizlik momentini azaltırsa ne olur? açısal hızıωtelafi etmek için artar.
Kediler, düşerken ayakları üzerine inmelerine yardımcı olmak için benzer hareketler yaparlar.
Bacaklarını ve kuyruğunu uzatarak eylemsizlik momentlerini arttırır ve dönüş hızlarını azaltırlar, ve tersine, eylemsizlik momentlerini azaltmak ve dönüş hızlarını artırmak için bacaklarını çekebilirler. Ayaklarının yere basmasını sağlamak için “doğrultma refleksinin” diğer yönleriyle birlikte bu iki stratejiyi kullanırlar. bir kedinin hızlandırılmış fotoğraflarında kıvrılmanın ve esnemenin farklı aşamalarını görebilirsiniz. iniş.
Eylemsizlik Momenti ve Dönme Kinetik Enerjisi
Lineer hareket ile dönme hareketi arasındaki paralellikleri sürdüren cisimler, lineer kinetik enerjiye sahip oldukları gibi dönme kinetik enerjisine de sahiptirler.
Yerde yuvarlanan, hem merkezi ekseni etrafında dönen hem de doğrusal bir şekilde ilerleyen bir top düşünün: Topun toplam kinetik enerjisi, doğrusal kinetik enerjisinin toplamıdır.Ek ve dönme kinetik enerjisiEçürümek. Bu iki enerji arasındaki paralellikler, bir nesnenin eylemsizlik momenti kütlenin dönme analoğudur ve açısal hızı doğrusal kütlenin dönme analoğudur. hızv):
E_k = \frac{1}{2}mv^2
E_{rot} = \frac{1}{2}Iω^2
Dönme kinetik enerji denklemi yerine uygun dönme analogları ile her iki denklemin de tamamen aynı forma sahip olduğunu açıkça görebilirsiniz.
Tabii ki, dönme kinetik enerjisini hesaplamak için, nesnenin eylemsizlik momenti için uygun ifadeyi boşlukta yerine koymanız gerekir.ben. Topu göz önünde bulundurarak ve nesneyi katı bir küre olarak modelleyerek, denklem şu şekildedir:
\begin{hizalanmış} E_{rot} &= \bigg(\frac{2}{5} MR^2\bigg) \frac{1}{2} ω^2 \\ &= \frac{1}{5 }MR^2 ω^2 \end{hizalı}
Toplam kinetik enerji (Etot) bunun ve topun kinetik enerjisinin toplamıdır, böylece şunu yazabilirsiniz:
\begin{hizalanmış} E_{tot} &= E_k + E_{rot} \\ &= \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}MR^2 ω^2 \end{ hizalı}
2 m/s doğrusal hızda, 0,3 m yarıçapında ve 2π rad/s açısal hızda hareket eden 1 kg'lık bir top için toplam enerji şöyle olacaktır:
\begin{hizalanmış} E_{tot} &= \frac{1}{2} 1 \;\text{kg} × (2 \;\text{m/s})^2 + \frac{1}{5 }(1 \;\text{kg} × (0,3 \;\text{m})^2 × (2π \;\text{rad/s})^2) \\ &= 2 \;\text{J} + 0.71 \;\text{J} \\ & = 2.71 \;\text{J} \end{hizalanmış}
Duruma bağlı olarak, bir nesne yalnızca doğrusal kinetik enerjiye sahip olabilir (örneğin, bir üzerine spin uygulanmamış bir yükseklik) veya sadece dönme kinetik enerjisi (dönen ama yerinde kalan bir top).
olduğunu hatırlaToplamkorunan enerjidir. Bir top, ilk dönüşü olmayan bir duvara tekme atılırsa ve daha düşük bir hızda ancak bir dönüş ile geri sekerse, enerjinin yanı sıra Temas ettiğinde sese ve ısıya kaybolduğu için, başlangıçtaki kinetik enerjinin bir kısmı dönme kinetik enerjisine aktarılır ve böyleceyapamammuhtemelen geri sıçramadan önceki kadar hızlı hareket eder.