Cebirde, sayı dizileri, bir şey büyüdükçe veya küçüldükçe ne olduğunu incelemek için değerlidir. Bir aritmetik dizi, dizideki bir sayı ile bir sonraki sayı arasındaki fark olan ortak farkla tanımlanır. Aritmetik diziler için bu fark sabit bir değerdir ve pozitif veya negatif olabilir. Sonuç olarak, bir aritmetik dizi, diziyi oluşturan listeye her yeni bir sayı eklendiğinde sabit bir miktarda büyür veya küçülür.
TL; DR (Çok Uzun; Okumadım)
Aritmetik dizi, ardışık terimlerin ortak fark olan sabit bir miktarda farklılık gösterdiği sayıların bir listesidir. Ortak fark pozitif olduğunda, dizi sabit bir miktarda artmaya devam ederken, negatif olduğunda dizi azalır. Diğer yaygın diziler, terimlerin ortak bir faktörle farklılık gösterdiği geometrik dizi ve her bir sayının önceki iki sayının toplamı olduğu Fibonacci dizisidir.
Aritmetik Dizi Nasıl Çalışır?
Bir aritmetik dizi, bir başlangıç numarası, bir ortak fark ve dizideki terimlerin sayısı ile tanımlanır. Örneğin, 12 ile başlayan bir aritmetik dizi, 3 ve beş terimin ortak farkı 12, 15, 18, 21, 24'tür. Azalan bir dizi örneği, -2 ve altı terimin ortak farkı olan 3 ile başlayan dizidir. Bu dizi 3, 1, -1, -3, -5, -7 şeklindedir.
Aritmetik diziler ayrıca sonsuz sayıda terime sahip olabilir. Örneğin, sonsuz sayıda terim içeren yukarıdaki ilk dizi 12, 15, 18,... ve bu dizi sonsuza kadar devam eder.
Aritmetik ortalama
Bir aritmetik dizi, dizinin tüm terimlerini toplayan karşılık gelen bir diziye sahiptir. Terimler toplanıp toplam terim sayısına bölündüğünde sonuç aritmetik ortalama veya ortalamadır. Aritmetik ortalamanın formülü şu şekildedir:
\text{mean}= \frac{ \text{toplam }n \text{ terimler}}{n}
Bir aritmetik dizinin ortalamasını hesaplamanın hızlı bir yolu, ilk ve son terimler eklendiğinde, toplam, ikinci ve sondan sonraki terimler eklendiğinde veya sondan üçüncü ve üçüncü terimlerin eklendiği zamankiyle aynıdır. terimler. Sonuç olarak, dizinin toplamı, ilk ve son terimlerin toplamı çarpı terim sayısının yarısıdır. Ortalamayı elde etmek için, toplam terim sayısına bölünür, bu nedenle bir aritmetik dizinin ortalaması, ilk ve son terimlerin toplamının yarısıdır. İçinnşartlarbir1 içinbirn, ortalama m için karşılık gelen formül
m= \frac{a_1+a_n}{2}
Sonsuz aritmetik dizilerin bir son terimi yoktur ve bu nedenle ortalamaları tanımsızdır. Bunun yerine, toplamın belirli sayıda terimle sınırlandırılmasıyla kısmi bir toplam için bir ortalama bulunabilir. Bu durumda, kısmi toplam ve ortalaması, sonsuz olmayan bir diziyle aynı şekilde bulunabilir.
Diğer Dizi Türleri
Sayı dizileri genellikle deneylerden veya doğal fenomenlerin ölçümlerinden elde edilen gözlemlere dayanır. Bu tür diziler rastgele sayılar olabilir, ancak genellikle diziler aritmetik veya diğer sıralı sayı listeleri olarak ortaya çıkar.
Örneğin, geometrik diziler aritmetik dizilerden farklıdır çünkü ortak bir farktan ziyade ortak bir çarpanları vardır. Her yeni terim için bir sayı eklemek veya çıkarmak yerine, her yeni terim eklendiğinde bir sayı çarpılır veya bölünür. 10, 12, 14 olan bir dizi... ortak farkı 2 olan bir aritmetik dizi olarak 10, 20, 40,... ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizidir.
Diğer diziler tamamen farklı kurallara uyar. Örneğin, Fibonacci dizi terimleri, önceki iki sayının eklenmesiyle oluşturulur. Sırası 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Kısmi bir toplam elde etmek için terimlerin ayrı ayrı eklenmesi gerekir, çünkü ilk ve son terimleri toplamanın hızlı yöntemi bu dizi için çalışmaz.
Aritmetik diziler basittir ancak gerçek yaşam uygulamaları vardır. Başlangıç noktası biliniyorsa ve ortak fark bulunabilirse, serinin gelecekte belirli bir noktadaki değeri hesaplanabilir ve ortalama değeri de belirlenebilir.