Matematikte dizi, artan veya azalan sırada düzenlenmiş herhangi bir sayı dizisidir. Bir önceki sayıyı ortak bir çarpanla çarparak her sayıyı elde edebildiğinizde, dizi geometrik dizi olur. Örneğin, 1, 2, 4, 8, 16 serisi... ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizidir. Serideki herhangi bir sayıyı 2 ile çarparsanız bir sonraki sayıyı elde edersiniz. Buna karşılık, 2, 3, 5, 8, 14, 22 dizisi... geometrik değildir çünkü sayılar arasında ortak bir çarpan yoktur. Bir geometrik dizinin kesirli ortak çarpanı olabilir, bu durumda ardışık her sayı kendinden öncekinden daha küçüktür. 1, 1/2, 1/4, 1/8... bir örnektir. Ortak çarpanı 1/2'dir.
Geometrik bir dizinin ortak bir çarpanı olması, iki şeyi yapmanızı sağlar. İlki, dizideki herhangi bir rastgele öğeyi hesaplamaktır (matematikçiler buna "nth" öğesi), ikincisi ise geometrik dizinin toplamını bulmaktır.neleman. Her terim çiftinin arasına artı işareti koyarak diziyi topladığınızda diziyi geometrik diziye çevirirsiniz.
Geometrik Dizide n'inci Elemanı Bulma
Genel olarak, herhangi bir geometrik seriyi aşağıdaki şekilde temsil edebilirsiniz:
a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 +.. .
nerede "bir" dizideki ilk terimdir ve "r"ortak faktördür. Bunu kontrol etmek için, aşağıdaki seriyi göz önünde bulundurun:bir= 1 ver= 2. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 elde edersiniz... işe yarıyor!
Bunu kurduktan sonra, dizideki n'inci terim için bir formül türetmek artık mümkündür (xn).
x_n = ar^{(n-1)}
üsn− 1 yerinendizideki ilk terimin şu şekilde yazılmasına izin vermek içinar0, bu eşittir "bir."
Örnek dizideki 4. terimi hesaplayarak bunu kontrol edin.
x_4 = (1) × 2^3 = 8
Geometrik Dizinin Toplamını Hesaplama
Ortak oranı 1'den büyük veya -1'den küçük olan bir ıraksak diziyi toplamak istiyorsanız, bunu yalnızca sınırlı sayıda terime kadar yapabilirsiniz. Bununla birlikte, ortak oranı 1 ile -1 arasında olan bir sonsuz yakınsak dizinin toplamını hesaplamak mümkündür.
Geometrik toplam formülünü geliştirmek için ne yaptığınızı düşünerek başlayın. Aşağıdaki ekleme serisinin toplamını arıyorsunuz:
a + ar + ar^2 + ar^3 +... + ar^{(n-1)}
Serideki her terimark, vek0'dan gidern− 1. Serilerin toplamı için formül, ('den tüm terimleri toplamak anlamına gelen büyük sigma işaretini – ∑ – kullanır.k= 0) ila (k = n − 1).
\sum_k^{n-1} ar^k = a\bigg(\frac{1 - r^n}{1 - r}\bigg)
Bunu kontrol etmek için, 1'den başlayan ve ortak çarpanı 2 olan geometrik dizinin ilk 4 teriminin toplamını düşünün. Yukarıdaki formülde,bir = 1, r= 2 ven= 4. Bu değerleri takarak şunları elde edersiniz:
1 \bigg(\frac{1 - 2^4}{1 - 2}\bigg) = 15
Serideki sayıları kendiniz ekleyerek bunu doğrulamak kolaydır. Aslında, bir geometrik serinin toplamına ihtiyacınız olduğunda, yalnızca birkaç terim olduğunda sayıları kendiniz eklemek genellikle daha kolaydır. Seride çok sayıda terim varsa, geometrik toplam formülünü kullanmak çok daha kolaydır.