Bazen bir kare matrisle çarpıldığında bize vektörün bir katını verecek sıfırdan farklı bir vektör bulmak gerekir. Bu sıfır olmayan vektöre "özvektör" denir. Özvektörler yalnızca matematikçilerin değil, fizik ve mühendislik gibi mesleklerdeki diğerlerinin de ilgi alanına girer. Bunları hesaplamak için matris cebiri ve determinantları anlamanız gerekir.
Bir "özvektör"ün tanımını öğrenin ve anlayın. Bir n x n kare matris A için bulunur ve ayrıca a "lambda" denilen skaler özdeğer. Lambda, Yunan harfiyle temsil edilir, ancak burada onu kısaltacağız. L. Ax = Lx olmak üzere sıfırdan farklı bir x vektörü varsa, bu x vektörüne "A'nın özdeğeri" denir.
Det (A - LI) = 0 karakteristik denklemini kullanarak matrisin özdeğerlerini bulun. "Det" determinantı temsil eder ve "I" birim matrisidir.
Karakteristik denklemin sıfır uzayı olan bir özuzay E(L) bularak her bir özdeğer için özvektörü hesaplayın. E(L)'nin sıfır olmayan vektörleri, A'nın özvektörleridir. Bunlar, özvektörleri tekrar karakteristik matrise takarak ve A - LI = 0 için bir temel bularak bulunur.
Karakteristik denklemi kullanarak özdeğerleri hesaplayın. Det (A -- LI) (3 -- L)(3 -- L) --1 = L^2 -- 6L + 8 = 0, karakteristik polinomdur. Bunu cebirsel olarak çözmek bize matrisimizin özdeğerleri olan L1 = 4 ve L2 = 2'yi verir.
Sıfır uzayını hesaplayarak L = 4 için özvektörü bulun. Bunu, L1 = 4'ü karakteristik matrise yerleştirerek ve A - 4I = 0 için temel bularak yapın. Bunu çözerek x -- y = 0 veya x = y buluruz. x = y = 1 gibi eşit oldukları için bunun tek bir bağımsız çözümü vardır. Bu nedenle, v1 = (1,1), L1 = 4'ün özuzayını kapsayan bir özvektördür.
L2 = 2 için özvektörü bulmak için Adım 6'yı tekrarlayın. x + y = 0 veya x = --y buluruz. Bunun da bir bağımsız çözümü var, x = --1 ve y = 1 diyelim. Bu nedenle v2 = (--1,1), L2 = 2'nin özuzayını kapsayan bir özvektördür.