Süper Kupa yaklaşırken, dünyanın tüm sporcuları ve taraftarları büyük maça odaklanmış durumda. Ancak _math_letes için büyük oyun, bir futbol maçındaki olası skorlarla ilgili küçük bir sorunu akla getirebilir. Puanlayabileceğiniz puan miktarı için yalnızca sınırlı seçeneklerle, bazı toplamlara ulaşılamaz, ancak en yüksek olan nedir? Madeni paraları, futbolu ve McDonald's tavuk kanadını neyin birbirine bağladığını bilmek istiyorsanız, bu sizin için bir problem.
Super Bowl Matematik Problemi
Sorun, Los Angeles Rams veya New England Patriots'un Pazar günü elde edebileceği olası puanları içeriyor. olmadan bir güvenlik veya iki noktalı dönüşüm. Başka bir deyişle, puanlarını artırmanın izin verilen yolları 3 sayılık atışlar ve 7 sayılık gollerdir. Yani, güvenlik olmadan, herhangi bir 3s ve 7s kombinasyonu ile bir oyunda 2 puan elde edemezsiniz. Benzer şekilde, 4 puan da alamazsınız, 5 puan da alamazsınız.
Soru: En yüksek puan nedir yapamam sadece 3 sayılık atışlar ve 7 sayılık gollerle mi başarılabilir?
Tabii ki, dönüşümsüz touchdown'lar 6 değerindedir, ancak yine de iki saha hedefi ile buna ulaşabildiğiniz için sorun değil. Ayrıca, burada matematikle uğraştığımız için, belirli takımın taktikleri ve hatta puan kazanma yetenekleriyle ilgili herhangi bir sınırlama hakkında endişelenmenize gerek yok.
Devam etmeden önce bunu kendiniz çözmeye çalışın!
Bir Çözüm Bulmak (Yavaş Yol)
Bu problemin bazı karmaşık matematiksel çözümleri vardır (tüm ayrıntılar için Kaynaklara bakın, ancak ana sonuç aşağıda tanıtılacaktır), ancak bunun nasıl olmadığına iyi bir örnektir. gerekli cevabı bulmak için.
Bir kaba kuvvet çözümü bulmak için yapmanız gereken tek şey, puanların her birini sırayla denemek. Yani 1 veya 2 puan alamayacağınızı biliyoruz, çünkü bunlar 3'ten az. 4 ve 5'in mümkün olmadığını, ancak 6'nın iki saha hedefi ile mümkün olduğunu zaten belirledik. 7'den sonra (hangisi mümkündür), 8 puan alabilir misin? Hayır! Üç saha golü 9 verir ve bir saha golü ve dönüştürülmüş bir gol 10 yapar. Ama 11'i alamazsın.
Bu noktadan sonra, küçük bir çalışma şunu gösteriyor:
\begin{hizalanmış} 3 × 4 &= 12\\ 7 + (3 × 2) &= 13 \\ 7 × 2 &= 14\\ 3 × 5 &= 15\\ 7 + (3 × 3) &= 16\\ (7 × 2) + 3 &= 17 \end{hizalı}
Ve aslında, istediğiniz kadar bu şekilde devam edebilirsiniz. Cevap 11 gibi görünüyor. Ama öyle mi?
Cebirsel Çözüm
Matematikçiler bu problemlere “Frobenius madeni para problemleri” diyorlar. Madeni paralarla ilgili orijinal form, örneğin: Sadece madeni paralarınız değerlendiyse 4 sent ve 11 sent (gerçek madeni para değil, ama yine, bu sizin için matematik problemleri), yapamayacağınız en büyük para miktarı nedir? üretmek.
Cebir açısından çözüm, bir puan değerinde p puan ve bir puan değerinde q puan, alamayacağınız en yüksek puan (N) tarafından verilir:
N = pq \; – \;(p + q)
Yani Super Bowl probleminden değerleri eklemek şunları verir:
\begin{hizalanmış} N &= 3 × 7\; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10\\ &= 11 \end{hizalanmış}
Yavaş yoldan aldığımız cevap bu. Peki, yalnızca dönüşümsüz touchdown (6 puan) ve tek puanlık dönüşümlü touchdown (7 puan) yapabilseydiniz ne olurdu? Okumadan önce formülü çözmek için kullanıp kullanamayacağınıza bakın.
Bu durumda formül şu hale gelir:
\begin{hizalanmış} N &= 6 × 7\; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13\\ &= 29 \end{hizalanmış}
Tavuk McNugget Problemi
Yani oyun bitti ve kazanan takımı McDonald's gezisi ile ödüllendirmek istiyorsunuz. Ancak McNugget'ları yalnızca 9 veya 20'li kutularda satıyorlar. Peki sizin için en fazla külçe sayısı nedir? yapamam bu (eski) kutu numaralarıyla satın alınsın mı? Okumaya devam etmeden önce cevabı bulmak için formülü kullanmayı deneyin.
Dan beri
N = pq \; – \;(p + q)
Ve birlikte p = 9 ve q = 20:
\begin{hizalanmış} N &= 9 × 20\; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29\\ &= 151 \end{hizalı}
Yani, 151'den fazla külçe satın alıyor olmanız koşuluyla - kazanan takım muhtemelen oldukça aç olacaktır - bir kutu kombinasyonu ile istediğiniz sayıda külçe satın alabilirsiniz.
Bu sorunun neden sadece iki rakamlı versiyonlarını ele aldığımızı merak ediyor olabilirsiniz. Ya kasaları dahil etseydik ya da McDonalds üç boy külçe kutusu satsaydı? Var net formül yok bu durumda ve çoğu versiyonu çözülebilirken, sorunun bazı yönleri tamamen çözülmemiştir.
Bu yüzden belki oyunu izlerken ya da lokmalık tavuk parçaları yerken matematikte açık bir problemi çözmeye çalıştığınızı iddia edebilirsiniz - işlerden kurtulmaya çalışmak buna değer!