Fizikçiler, hangilerinin hızlandırılmasının veya yavaşlatılmasının daha zor olacağını belirlemek için dönen nesneler için eylemsizlik momentlerini karşılaştırır. Bu, bir yarışta hangi nesnelerin en hızlı yuvarlanacağını bulmak gibi gerçek dünyadaki durumlar için geçerlidir.
Bir nesnenin atalet momentini değiştiren faktörler, kütlesi, bu kütlenin nasıl dağıldığı - şekli ve yarıçapı tarafından belirlenir - ve üzerinde döndüğü dönme eksenidir.
Ortak Nesneler için Eylemsizlik Momentleri
Bu diyagram, farklı dönme eksenleri etrafında dönen birkaç yaygın şekil için atalet momenti denklemlerini gösterir.
Atalet Momentlerinin Karşılaştırılması
Çeşitli nesneleri karşılaştırmak için eylemsizlik momentlerini kullanmayı gerektiren bazı fizik problemlerine örnekler.
1. Aşağıdakilerden hangisi döndürmeye başlamak için en kolay olacaktır: 0,2 m yarıçaplı 7 kg'lık içi boş bir küre veya aynı yarıçapta 10 kg'lık bir katı küre?
Her nesne için atalet momentlerini bularak başlayın. Tabloya göre, denklemiçi boş küredır-dir:ben = 2/3mr2, ve denklemi içinkatı küredır-dirben = 2/5mr2.
Verilen kütleleri ve yarıçapları yerine koyarsak:
içi boş küre: ben = 2/3(7kg)(0.2m)2 = 0.19 kgm2
Katı küre: ben = 2/5(10kg)(0.2m)2 = 0.16 kgm2
Eylemsizlik momentikatı küre için daha küçük, bu yüzden olacakdöndürmeye başlamak en kolayı.
2. Bir kalemi hangi şekilde döndürmek daha zordur: uzunluğuna göre mi, merkezi etrafında mı yoksa uçtan uca mı? Kalemin uzunluğunun 10 cm (0,1 m) ve kesit yarıçapının 3 mm (0,03 m) olduğunu varsayın.
Bu durumda, kalemin kütlesi değişmediği için karşılaştırmada önemli değildir.
Hangi denklemlerin uygulanacağını belirlemek için, bir kalemin şeklini silindir olarak tahmin edin.
Ardından, gerekli üç atalet momenti denklemi:
Boyu hakkında silindir(eksen uçtan silgiye kadar her şeyden geçer, dolayısıyla yarıçap dönme ekseninedır-dirkesit yarıçapı):
I=\frac{1}{2}mr^2=\frac{1}{2}m (0,003)^2=0,0000045m
Merkezi etrafında silindir(ortada tutulur, dolayısıyla dönme yarıçapıuzunluğunun yarısı):
I=\frac{1}{12}mr^2=\frac{1}{12}m (0.05)^2=0.0002083m
Sonunun etrafındaki silindir(uç veya silgi tarafından tutulur, bu nedenle dönme ekseninin yarıçapıdır-diruzunluğu):
I=\frac{1}{3}mr^2=\frac{1}{3}m (0,1)^2=0,003333m
Bir nesnenin eylemsizlik momenti ne kadar yüksekse, dönüşünü başlatmak (veya durdurmak) o kadar zor olur.Her değer aynı ile çarpıldığındanm, r ile çarpılan kesrin değeri ne kadar büyükse2, atalet momenti o kadar yüksek olacaktır. Bu durumda 0.0033333 > 0.0002083 > 0.0000045, yanibir kalemi ucu etrafında döndürmek daha zordiğer iki eksen etrafında daha.
3. Hepsi aynı kütleye ve yarıçapa sahipse ve hepsi aynı anda üstten serbest bırakılıyorsa, rampanın dibine önce hangi nesne ulaşır: bir çember, bir silindir veya katı bir küre? Sürtünmeyi görmezden gelin.
Bu sorunu cevaplamanın anahtarı, bir anlayış uygulamaktır.enerjinin korunumu. Tüm nesneler aynı kütleye sahipse ve aynı yükseklikte başlıyorsa, aynı miktarda başlamalıdırlar.yerçekimi potansiyel enerjisi. butoplam enerjikinetik enerjiye dönüşmeye ve rampadan aşağı inmeye müsaittirler.
Nesneler rampadan aşağı yuvarlanacağından, başlangıçtaki potansiyel enerjilerini her ikisine de dönüştürmeleri gerekir.dönme ve doğrusal kinetik enerjiler.
İşin püf noktası şudur: nesnenin aldığı toplam pastadan daha fazla enerji alır.dönmeye başla, o kadar az kullanılabilir olacakdoğrusal hareket. Bunun anlamıbir nesneyi yuvarlamak ne kadar kolaysa, rampadan aşağı doğru doğrusal olarak o kadar hızlı hareket edecek ve yarışı kazanacaktır..
O zaman, tüm kütleler ve yarıçaplar aynı olduğu için, sadece atalet denkleminin her momentinin önündeki kesirleri karşılaştırmak, cevabı ortaya çıkarır:
Katı küre: ben =2/5Bay2
Bir eksen etrafında çember: ben = bay2
Uzunluğu hakkında katı silindir: ben =1/2Bay2
En küçükten en büyüğe atalet momenti ve dolayısıyladibe ulaşan ilk son: küre, silindir, çember.