Maxwell-Boltzmann Dağılımı: Fonksiyon, Türev ve Örnekler

Çok küçük parçacıklarla neler olduğunu açıklamak fizikte bir meydan okumadır. Sadece boyutlarıyla çalışmak zor olmakla kalmaz, aynı zamanda çoğu günlük uygulamada tek bir parçacıkla uğraşmazsınız, sayısız birçoğu birbiriyle etkileşime girer.

Bir katı içinde parçacıklar birbirlerinin yanından geçmezler, bunun yerine oldukça fazla yerlerinde kalırlar. Bununla birlikte, katılar sıcaklık değişimleri ile genişleyebilir ve büzülebilir ve hatta bazen belirli durumlarda kristal yapılarda ilginç değişikliklere uğrayabilir.

Sıvılarda parçacıklar birbirlerini geçmekte serbesttir. Ancak bilim adamları, her bir molekülün ne yaptığını takip etmeye çalışarak sıvıları inceleme eğiliminde değiller. Bunun yerine viskozite, yoğunluk ve basınç gibi bütünün daha büyük özelliklerine bakarlar.

Tıpkı sıvılarda olduğu gibi, bir gaz içindeki parçacıklar da birbirlerini geçmekte serbesttir. Aslında gazlar, sıcaklık ve basınçtaki farklılıklar nedeniyle hacimlerinde çarpıcı değişikliklere uğrayabilir.

Yine, termal dengede bile her bir gaz molekülünün ne yaptığını takip ederek bir gazı incelemek mantıklı değildir. Özellikle boş bir bardakta bile yaklaşık 10 tane olduğunu düşündüğünüzde pek mümkün olmaz.

Analizi en kolay gaz türü ideal gazdır. İdealdir çünkü fiziğin anlaşılmasını çok daha kolay hale getiren belirli basitleştirmelere izin verir. Standart sıcaklık ve basınçlardaki birçok gaz, yaklaşık olarak ideal gazlar olarak hareket eder, bu da onların çalışılmasını da faydalı kılar.

İdeal bir gazda, gaz moleküllerinin kendilerinin mükemmel esnek çarpışmalarda çarpıştığı varsayılır, böylece bu tür çarpışmaların sonucunda enerjinin değişen formu hakkında endişelenmenize gerek kalmaz. Moleküllerin birbirinden çok uzak olduğu da varsayılır, bu da esasen şu anlama gelir: uzay için birbirleriyle savaşmaları konusunda endişelenmenize gerek yok ve onlara nokta olarak davranabilirsiniz. parçacıklar. İdeal gazlar da çok sıcak ve çok soğuk değildir, bu nedenle iyonlaşma veya kuantum etkileri gibi etkiler konusunda endişelenmenize gerek yoktur.

Buradan gaz parçacıkları, kapları içinde sıçrayan küçük nokta parçacıklar gibi işlenebilir. Ancak bu basitleştirmeyle bile, her bir parçacığın ne yaptığını izleyerek gazları anlamak hala mümkün değil. Bununla birlikte, bilim adamlarının makroskopik nicelikler arasındaki ilişkileri tanımlayan matematiksel modeller geliştirmelerine izin verir.

İdeal gaz yasası, ideal bir gazın basıncını, hacmini ve sıcaklığını ilişkilendirir. BasınçPBir gazın, içinde bulunduğu kabın duvarlarına uyguladığı birim alan başına kuvvettir. SI basınç birimi paskaldır (Pa) burada 1Pa = 1N/m². SesVgazın m SI birimlerinde kapladığı alan miktarıdır³. ve sıcaklıkTGazın miktarı, Kelvin'in SI birimleriyle ölçülen, molekül başına ortalama kinetik enerjinin bir ölçüsüdür.

İdeal gaz yasasını açıklayan denklem aşağıdaki gibi yazılabilir:

NeredeNmolekül sayısı veya parçacık sayısı ve Boltzmann sabitidirk​ = 1.38064852×10^-23 kgm²/s²K.

Bu yasanın eşdeğer bir formülasyonu:

Neredenmol sayısı ve evrensel gaz sabitidir$= 8.3145 J/molK.

Bu iki ifade eşdeğerdir. Hangisini kullanmayı seçeceğiniz, molekül sayınızı mol olarak mı yoksa molekül sayısı olarak mı ölçtüğünüze bağlıdır.

• 1 mol = 6.022×10²³ Avogadro sayısı olan moleküller.

Bir gaz ideal olarak tahmin edildiğinde, ek bir sadeleştirme yapabilirsiniz. Yani, her bir molekülün tam fiziğini -ki bu sayıları nedeniyle imkansız olurdu- düşünmek yerine, sanki hareketleri rastgeleymiş gibi ele alınır. Bu nedenle, neler olup bittiğini anlamak için istatistikler uygulanabilir.

19. yüzyılda fizikçiler James Clerk Maxwell ve Ludwig Boltzmann, açıklanan basitleştirmelere dayanarak gazların kinetik teorisini geliştirdiler.

Klasik olarak, bir gazdaki her molekül, kendisine şu şekilde atfedilen bir kinetik enerjiye sahip olabilir:

Ancak gazdaki her molekül, sürekli çarpıştıkları için aynı kinetik enerjiye sahip değildir. Moleküllerin kinetik enerjilerinin tam dağılımı Maxwell-Boltzmann dağılımı ile verilmektedir.

Maxwell-Boltzmann istatistikleri, ideal gaz moleküllerinin çeşitli enerji durumları üzerindeki dağılımını tanımlar. Bu dağılımı açıklayan fonksiyon aşağıdaki gibidir:

Neredebirbir normalizasyon sabitidir,Eenerjidir,kBoltzmann sabitidir veTsıcaklıktır.

Bu işlevi elde etmek için yapılan diğer varsayımlar, nokta-parçacık yapıları nedeniyle, belirli bir durumu işgal edebilecek kaç tane parçacığın sınırı olmadığıdır. Ayrıca, parçacıkların enerji durumları arasındaki dağılımı, zorunlu olarak en olası dağılımı alır ( daha fazla sayıda parçacık, gazın bu dağılıma yakın olmama olasılığı giderek artıyor küçük). Ve son olarak, tüm enerji durumları eşit derecede olasıdır.

Bu istatistikler işe yarıyor çünkü herhangi bir parçacığın ortalamanın önemli ölçüde üzerinde bir enerjiyle sonuçlanması pek olası değil. Öyle olsaydı, toplam enerjinin geri kalanının dağıtılması için çok daha az yol kalırdı. Bir sayı oyununa dönüşüyor - ortalamanın çok üzerinde bir parçacığı olmayan çok daha fazla enerji durumu olduğundan, sistemin böyle bir durumda olma olasılığı yok denecek kadar azdır.

Bununla birlikte, ortalamadan daha düşük enerjiler, yine olasılıkların nasıl ortaya çıktığı nedeniyle daha olasıdır. Tüm hareketler rastgele olarak kabul edildiğinden ve bir parçacığın düşük enerji durumuna gelmesinin çok sayıda yolu olduğundan, bu durumlar tercih edilir.

Maxwell-Boltzmann dağılımı, ideal gaz parçacıklarının hızlarının dağılımıdır. Bu hız dağılım fonksiyonu Maxwell-Boltzmann istatistiklerinden türetilebilir ve basınç, hacim ve sıcaklık arasındaki ilişkileri türetmek için kullanılabilir.

hız dağılımıvaşağıdaki formülle verilir:

Neredembir molekülün kütlesidir.

Hız dağıtım fonksiyonu ile ilgili dağıtım eğrisi,y-eksen ve moleküler hızx-ekseni, sağda daha uzun bir kuyruk ile kabaca asimetrik normal bir eğriye benziyor. En olası hızda bir tepe değerine sahiptir.v_p, ve tarafından verilen ortalama hız:

Ayrıca nasıl uzun ve dar bir kuyruğa sahip olduğuna da dikkat edin. Eğri, farklı sıcaklıklarda biraz değişir, uzun kuyruk daha yüksek sıcaklıklarda "daha şişman" hale gelir.

İlişkiyi kullanın:

NeredeE_intiç enerjidir,KE​_{​ortalama​} Maxwell-Boltzmann dağılımından molekül başına ortalama kinetik enerjidir. İdeal gaz yasasıyla birlikte, moleküler hareket açısından basınç ve hacim arasında bir ilişki elde etmek mümkündür: