Açısal Momentum: Tanım, Denklem, Birimler (diyagramlar ve Örnekler ile)

Sahneyi düşünün: Siz ve bir arkadaşınız, kontrolünüz dışındaki sorunlar nedeniyle, aşağı doğru eğimli uzun bir rampanın tepesinde duruyorsunuz. Her birinize tam olarak 1 m yarıçapında bir top verildi. Sizinkinin tek tip, köpük benzeri bir malzemeden yapıldığı ve kütlesinin 5 kg olduğu söylendi. Arkadaşınızın topunun da 5 kg'lık bir kütlesi var, bunu kullanışlı bir terazi ile doğrularsınız.

Arkadaşınız, iki topu aynı anda bırakırsanız, sizinkinin önce dibe ulaşacağına dair bahse girmek istiyor. Toplar aynı kütleye ve aynı yarıçapa (ve dolayısıyla hacme) sahip olduklarından, iniş boyunca rampa aşağı yerçekimi tarafından aynı hıza kadar hızlandırılacaklarını iddia etmeye cazip geliyorsunuz. Ama bir şey bahsinizi "momentum" olarak durdurur ve bahsi kabul etmezsiniz...

...akıllıca, anlaşıldığı üzere. İlk bakışta anlamsız gelse de, görünüşe göre sizin ikizinizin arkadaşı olan arkadaşınızın topu sizinkinden daha yavaş rampadan aşağı iner. Deney bittikten sonra, topların sökülmesini ve hile belirtileri için incelenmesini talep ediyorsunuz. Bunun yerine, tüm bulduğunuz, arkadaşınızın topundaki 5 kg'lık kütlenin, dışının etrafındaki, içi boş olan ince bir kabukla sınırlı olduğudur.

Peki ya yukarıda açıklanan konfigürasyon, v'nin değerini topunuzun lehine çevirir? Olduğu gibi, tıpkıkuvvetlerdeğiştirdoğrusal momentumile nesnelerinÇizgisel hız​, ​torklardeğiştiraçısal momentumile nesnelerinaçısal hız​.

Yuvarlanan rijit bir cismin hem lineer momentumu hem de açısal momentumu vardır, çünkü kütle merkezi sabit bir v hızıyla hareket ettiğinden (eşit topun veya tekerleğin teğetsel hızına göre), nesnenin diğer her kısmı açısal hızla o kütle merkezi etrafında döner ω.

Kütlenin bir nesne içinde nasıl dağıldığı, onun doğrusal momentumu üzerinde hiçbir etkiye sahip değildir, ancak açısal momentumunu mükemmel bir şekilde belirler. Bunu, atalet momenti adı verilen "kütle benzeri" (dönme amaçları için) bir miktar aracılığıyla yapar, daha yüksek değerler bu, hem bir şeyi döndürmenin daha zor olduğunu hem de zaten bir kez onu durdurmanın daha zor olduğunu gösterir. dönen.

Açısal momentum, bir nesnenin dönme hareketini değiştirmenin ne kadar zor olduğunun bir ölçüsüdür. Cismin eylemsizlik momentine ve açısal hızına bağlıdır. Açısal momentum korunan bir niceliktir, yani kapalı bir sistemdeki parçacıkların açısal momentumlarının toplamı, tek tek parçacıkların dalgalanabilmesine rağmen her zaman aynıdır.

Açısal momentum, belirtildiği gibi, aynı zamanda kütlenin bir eksen etrafındaki dağılımının bir fonksiyonudur. Bunu sezgisel olarak anlamak için, her 10 saniyede bir devrim yapan devasa bir atlıkarıncanın merkezinden 1 adım uzakta durduğunuzu hayal edin. Şimdi dururken aynı açısal hız ile aynı mekanizma üzerinde olduğunuzu hayal edin 1milmerkezden. Bu iki senaryoda açısal momentumdaki farkı tasavvur etmek çok fazla hayal gücü gerektirmez.

​Açısal momentum, atalet momentinin açısal hızının çarpımıdır veya:
​

neredeL= kg∙m cinsinden açısal momentum²/s,ben= kg∙m cinsinden eylemsizlik momenti², ve ω = saniyedeki radyan cinsinden açısal hız (rad/s).

• ​benikinci alan momenti olarak da adlandırılır.

Tartışmanın noktasal bir kütleden, bir eksen etrafında dönen silindir veya küre gibi katı bir cisme doğru genişlediğine dikkat edin. Bir cismin kütle merkezi genellikle bulunduğu noktada değildir.geometrikmerkez, yani değerleribencismin kütlesinin nasıl dağıldığına bağlıdır. Çoğu zaman bu simetriktir, ancak tek tip değildir, örneğin tüm kütlesi dışta ince bir şerit halinde (başka bir deyişle bir halka) olan içi boş bir disk gibi.

Açısal momentum vektörü, dönme ekseni boyunca, oluşturduğu düzleme diktir.r, nesnedeki herhangi bir noktanın uzayda dairesel "süpürmesi".

değeri için bir referans tablosubenfarklı ortak şekiller için Kaynaklarda bulunur. Birkaç temel açısal momentum problemine başlamak için bunları kullanın.

• Dikkatbenküresel bir kabuk için (2/3)mr² bir küreninki (2/5)mr iken². Giriş bölümündeki bahse geri dönersek, artık arkadaşınızın topunun (2/3)/(2/5) = 1.67 katı atalet momentine sahip olduğunu ve sizinkinin "yarışı" kazanmasını açıkladığını görebilirsiniz.

1. Dönme eylemsizliği olan bir diskben1,5 kg∙m²/s açısal hızla bir eksen etrafında dönerω8 rad/s. Onun açısal momentumu neL​?

2. 15 m uzunluğunda ve 5 kg kütleli ince bir çubuk -mesela büyük bir saatin eli- bir ucunda sabitlenmiş bir nokta etrafında açısal bir hızla dönmektedir.ω2π rad/60 s = (π/30) rad/s. açısal momentumu nedirL​?

Bu sefer, değerine bakmanız gerekiyor.ben. Bu şekilde hareket eden ince bir çubuk için,ben= (1/3)mr²​.

Bunu ilk örnekteki cevapla karşılaştırın. Bu sizi şaşırtıyor mu? Neden veya neden olmasın?

“Koruma”, fizikte ekosistemler alanında olduğundan biraz farklı bir anlama gelir. Basitçe, korunan miktarların toplam miktarının (enerji, momentum, kütle ve atalet) olduğu anlamına gelir. Fizikte korunan dört büyük nicelik), evren de dahil olmak üzere bir sistemdeki her zaman aynı. Enerjiyi "ortadan kaldırmaya" çalışırsanız, o basitçe başka bir biçimde ortaya çıkar ve onu "yaratmak" için yapılan herhangi bir girişim önceden var olan bir kaynağa dayanır.

Açısal momentumun korunumu yasası, kapalı bir sistemde toplam açısal momentumun değişemeyeceğini belirtir. Açısal momentum, açısal hıza ve atalet momentine bağlı olduğundan, belirli bir durumda bu niceliklerden herhangi birinin birbirine göre nasıl değişmesi gerektiği tahmin edilebilir.

• Resmi olarak, tork şu şekilde ifade edilebildiğindenτ= dL/dt (açısal momentumun zamana göre değişim oranı), bir sistemdeki torkların toplamı sıfır olduğunda, o zaman dL/dt'nin de sıfır olması gerekir ve sistemin değerlendirildiği zaman çerçevesinde sistemde açısal momentumda herhangi bir değişiklik olmaz. Tersine, eğer L sabit değilse, bu sistemdeki torkların bir dengesizliği anlamına gelir (yani,τ_ağdır-dirdeğilsıfıra eşittir).

Bu, günlük hayattan birçok mekanik örneğinde önemli bir kavramdır. Klasik bir örnek buz patencisidir: Üçlü bir axel yapmak için havaya zıpladığında kol ve bacaklarını sıkıca çeker. Bu, dönme ekseni etrafındaki toplam yarıçapını azaltır, kütle dağılımını değiştirerek eylemsizlik momentini azaltır (unutmayın,benm ile orantılıdırr²​).

Açısal momentum korunduğu için,benazalır, açısal hızı artmalıdır; bu şekilde havada birkaç dönüşü tamamlayacak kadar hızlı dönüyor! Yere düştüğünde tersini yapar - uzuvlarını yayar, kütle dağılımını değiştirerek eylemsizlik momentini artırır ve sırayla dönüş hızını (açısal hız) yavaşlatır.

Her yerde, sistemin açısal momentumu sabittir, ancak açısal momentumun büyüklüğünü belirleyen değişkenler manipüle edilebilir ve bu durumda olduğu gibi stratejik bir etkiye sahiptir.

1600'lerden başlayarak, Isaac Newton matematiksel fizikte etkili bir devrim yaratmaya başladı. Kalkülüs ile birlikte icat ettiği için, muhtemelen evrensel yasalar hakkında resmi iddialarda bulunmak için iyi bir konumdaydı. hem ötelemeli (doğrusal ve uzayda) hem de dönmeli (döngüsel ve yaklaşık olarak) nesnelerin hareketini yöneten bir eksen).

• Çeşitlikorunum yasalarıDaha sonra bolca sözü edilenler Newton'un beyin çocukları değildir, ancak bunlar ile hareket yasaları arasında önemli ilişkiler vardır.

​Newton'un birinci yasasıDuran veya sabit hızla hareket eden bir cismin cisme bir dış kuvvet etki etmedikçe bu durumda kalacağını belirtir. Buna da denireylemsizlik yasası.​

​Newton'un ikinci yasasınet bir kuvvet olduğunu iddia ediyorF_ağkütleli bir parçacığa etki ederm, o kütlenin hızını değiştirme veya hızlandırma eğiliminde olacaktır. Bu ünlü ilişki matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:F_ağ= mbir​.

​Newton'un üçüncü yasasıdoğada var olan her kuvvet için eşit büyüklükte ama tam tersi yönü gösteren bir kuvvet vardır der. Bu yasanın açısal momentum da dahil olmak üzere hareketin korunan özellikleri için önemli etkileri vardır.

Şimdi doğa, kurallar ve aralarındaki ilişkileri gözden geçirmek için mükemmel bir zaman.güç​, ​itme(kütle çarpı hız) veenerjisadece açısal momentum hakkındaki tartışmaları değil, klasik fizikteki diğer her şeyi bilgilendiren .

Belirtildiği gibi, bir nesne harici bir kuvvet (veya dönen bir nesne durumunda, harici tork) ile karşılaşmadıkça, hareketi etkilenmeden devam eder. Bununla birlikte, Dünya'da, hava sürüklenmesine ve çeşitli sürtünme türlerine daha az katkıda bulunanlar gibi, yerçekimi de hemen hemen her zaman karışımdadır. Bu nedenle, bu kronik "hareket" tarafından "alınan" şeyin yerine ara sıra enerji verilmedikçe hiçbir şey hareket etmeye devam etmez. hırsızlar."

Basitleştirmek için, bir parçacığın birtoplam enerjioluşaniçsel enerji(örneğin, moleküllerinin titreşimi) vemekanik enerji. Mekanik enerji dönüş toplamıdırpotansiyel enerji(PE; "depolanmış" enerji, genellikle yerçekimi yoluyla) vekinetik enerji(KE; hareket enerjisi). Faydalı bir şekilde, PE + KE + IE = bir nokta kütlesi (tek parçacık) veya çeşitli vızıldayan, etkileşimli kütleler olsun, tüm sistemler için bir sabittir.

Hız, ivme, yer değiştirme ve momentum gibi hareketle ilgili terimleri duyduğunuzda, muhtemelen varsayılan olarak bağlamın doğrusal hareket olduğunu varsayıyorsunuz. Aslında dönme hareketinin kendine özgü ama benzer nicelikleri vardır.

Doğrusal yer değiştirme SI birimlerinde metre (m) cinsinden ölçülürken, açısal yer değiştirme radyan (2π rad = 360 derece) olarak ölçülür. Buna göre,açısal hızrad/s cinsinden ölçülür ve şu şekilde temsil edilir:ω, Yunan harfi omega.

Bununla birlikte, bir nokta kütle kendi dönme ekseni etrafında hareket ederken, açısal hıza ek olarak, parçacık, doğrusal harekete benzer şekilde, belirli bir hızda dairesel bir yol izlemektedir. Bu oran,teğetsel hız​ ​v_t​​,ve r'ye eşittirω,nerederyarıçap veya dönme ekseninden olan mesafedir.

ilgili olarak,açısal ivme​ ​α(Yunanca alfa) açısal hızın değişim oranıdırωve rad/s cinsinden ölçülür². Ayrıca birmerkezcil ivme​ ​bir_ctarafından verilenv_t²/r,dönme eksenine doğru yönlendirilir.

• Açısal momentum tartışılırken, m'nin karşılığıvdoğrusal terimlerle, yakında kapsamlı bir tartışma verilecek, bileşenlerinden birinin,ben, kütlenin rotasyonel bir analogu olarak düşünülebilir.

Kuvvet, yer değiştirme, hız ve ivme gibi açısal momentum, birvektör miktarı, çünkü bu tür değişkenler hem birbüyüklük(yani, bir sayı) ve biryön, genellikle bireysel x-, y- ve z-bileşenlerinin terimleri verilir. Kütle, zaman, enerji ve iş gibi yalnızca sayısal bir öğe içeren niceliklere ne ad verilir?skaler miktarlar​.