Kinematik denklemler, sabit ivmeli bir cismin hareketini tanımlar. Bu denklemler, hareket eden bir nesnenin zaman, konum, hız ve ivme değişkenlerini ilişkilendirir ve bu değişkenlerden herhangi birinin, eğer diğerleri biliniyorsa, çözülmesine izin verir.
Aşağıda, bir boyutta sabit ivmeli hareket yapan bir cismin tasviri bulunmaktadır. Değişken t zaman içindir, pozisyon x, hız v ve hızlanma bir. Abonelikler ben ve f sırasıyla "ilk" ve "son" anlamına gelir. tahmin ediliyor ki t = 0 xben ve vben.
(1. resim ekle)
Kinematik Denklemler Listesi
Tek boyutta çalışırken geçerli olan aşağıda listelenen üç ana kinematik denklem vardır. Bu denklemler:
\#\text{1: } v_f=v_i+at\\ \#\text{2: } x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 at^2\\ \#\text{3: }(v_f)^ 2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)
Kinematik Denklemler Hakkında Notlar
- Bu denklemler yalnızca sabit bir ivme ile çalışır (sabit hız durumunda sıfır olabilir).
- Hangi kaynağı okuduğunuza bağlı olarak, nihai miktarların bir alt simgesi olmayabilir. f, ve/veya işlev notasyonunda şu şekilde temsil edilebilir: x (t) - oku"x zamanın bir fonksiyonu olarak” veya “x bu zamanda t" - ve v (t). Dikkat x (t) anlamına gelmez x çarpılır t!
-
bazen miktar xf -xben yazılmış
Δx"değişim" anlamına gelen x”, hatta basitçe d, yer değiştirme anlamına gelir. Hepsi eşdeğerdir. Konum, hız ve ivme vektörel niceliklerdir, yani kendileriyle ilişkili yönleri vardır. Bir boyutta yön tipik olarak işaretlerle belirtilir - pozitif miktarlar pozitif yönde ve negatif miktarlar negatif yöndedir. Abonelikler: "0" yerine başlangıç konumu ve hız için kullanılabilir ben. Bu "0" şu anlama gelir: t = 0," ve x0 ve v0 genellikle "x-naught" ve "v-naught" olarak telaffuz edilir. * Denklemlerden sadece biri zaman içermemektedir. Verilenleri yazarken ve hangi denklemin kullanılacağını belirlerken, bu anahtardır!
Özel Bir Durum: Serbest Düşüş
Serbest düşme hareketi, hava direncinin yokluğunda yalnızca yerçekimi nedeniyle hızlanan bir cismin hareketidir. Aynı kinematik denklemler geçerlidir; bununla birlikte, Dünya yüzeyine yakın ivme değeri bilinmektedir. Bu ivmenin büyüklüğü genellikle şu şekilde temsil edilir: g, burada g = 9,8 m/s2. Bu ivmenin yönü, Dünya yüzeyine doğru aşağıya doğrudur. (Bazı kaynakların yaklaşık olabileceğini unutmayın. g 10 m/s olarak2ve diğerleri ikiden fazla ondalık basamak için doğru olan bir değer kullanabilir.)
Tek Boyutta Kinematik Problemler İçin Problem Çözme Stratejisi:
Durumun bir diyagramını çizin ve uygun bir koordinat sistemi seçin. (Hatırlamak x, v ve bir hepsi vektörel büyüklüklerdir, dolayısıyla net bir pozitif yön atayarak işaretleri takip etmek daha kolay olacaktır.)
Bilinen miktarların bir listesini yazın. (Bazen bilinenlerin açık olmadığına dikkat edin. "Dinlenmeden başlar" gibi ifadeler arayın, bunun anlamı vben = 0 veya "yere çarpıyor", yani xf = 0, vb.)
Sorunun bulmanızı istediği miktarı belirleyin. Çözeceğiniz bilinmeyen nedir?
Uygun kinematik denklemi seçin. Bu, bilinmeyen miktarınızı bilinen miktarlarla birlikte içeren denklem olacaktır.
Bilinmeyen miktar için denklemi çözün, ardından bilinen değerleri girin ve son cevabı hesaplayın. (Birimler konusunda dikkatli olun! Bazen hesaplamadan önce birimleri dönüştürmeniz gerekebilir.)
Tek Boyutlu Kinematik Örnekleri
Örnek 1: Bir reklam, bir spor otomobilin 0'dan 60 mil / saate 2,7 saniyede çıkabileceğini iddia ediyor. Bu arabanın ivmesi m/s cinsinden nedir?2? Bu 2,7 saniye boyunca ne kadar yol kat eder?
Çözüm:
(Resim 2 Ekle)
Bilinen ve bilinmeyen miktarlar:
v_i=0\text{ mph}\\ v_f=60\text{ mph}\\ t=2.7\text{ s}\\ x_i=0\\ a=\text{?}\\ x_f=\text{? }
Sorunun ilk kısmı bilinmeyen ivmenin çözülmesini gerektiriyor. Burada 1 numaralı denklemi kullanabiliriz:
v_f=v_i+at\a =\frac {(v_f-v_i)} t anlamına gelir
Ancak sayıları girmeden önce 60 mph'yi m/s'ye çevirmemiz gerekiyor:
60\cancel{\text{ mph}}\Bigg( \frac {0.477\text{ m/s}} {\cancel{\text{mph}}}\Bigg)=26.8\text{ m/s}
Yani ivme o zaman:
a=\frac {(26.8-0)} {2.7}=\alt çizgi{\bold{9.93}\text{ m/s}^2}
Bu süre içinde ne kadar ileri gittiğini bulmak için 2 numaralı denklemi kullanabiliriz:
x_f=x_i+v_it+\frac 1 2 at^2=\frac 1 2 \times 9,93 \times 2,7^2=\underline{\bold{36.2}\text{ m}}
Örnek 2: Bir top 1.5 m yükseklikten 15 m/s hızla atılıyor. Yere çarptığında ne kadar hızlı gidiyor? Yere çarpmak ne kadar sürer?
Çözüm:
(Resim 3'ü ekleyin)
Bilinen ve bilinmeyen miktarlar:
x_i=1,5\text{ m}\\x_f=0\text{ m}\\v_i=15\text{ m/s}\\a=-9.8\text{ m/s}^2\\v_f=? \\t=?
İlk kısmı çözmek için denklem #3'ü kullanabiliriz:
(v_f)^2=(v_i)^2+2a (x_f-x_i)\v_f=\pm \sqrt{(v_i)^2+2a (x_f-x_i)} anlamına gelir
Her şey zaten tutarlı birimlerde olduğundan, değerleri ekleyebiliriz:
v_f=\pm \sqrt{15^2+2(-9.8)(0-1.5)}=\pm\sqrt{254.4}\yaklaşık\pm16\text{ m/s}
Burada iki çözüm var. Hangisi doğru? Diyagramımızdan, son hızın negatif olması gerektiğini görebiliriz. Yani cevap:
v_f=\underline{\bold{-16}\text{ m/s}}
Zamanı çözmek için ya 1 numaralı denklemi ya da 2 numaralı denklemi kullanabiliriz. Denklem 1 ile çalışmak daha kolay olduğundan, bunu kullanacağız:
v_f=v_i+at\implies t=\frac {(v_f-v_i)} {a}=\frac {(-16-15)}{-9.8}\yaklaşık \underline{\bold{3.2}\text{ s }}
Bu sorunun ilk bölümünün cevabının 0 m/s olmadığına dikkat edin. Top yere düştükten sonra 0 hıza sahip olacağı doğru olsa da, bu soru çarpmadan önceki o yarım saniyede ne kadar hızlı gittiğini bilmek istiyor. Top yere temas ettiğinde, ivme sabit olmayacağı için kinematik denklemlerimiz artık geçerli olmaz.
Mermi Hareketi İçin Kinematik Denklemler (İki Boyut)
Mermi, Dünya'nın yerçekiminin etkisi altında iki boyutta hareket eden bir nesnedir. Yolu bir parabol çünkü tek ivme yerçekiminden kaynaklanıyor. Mermi hareketi için kinematik denklemler, yukarıda listelenen kinematik denklemlerden biraz farklı bir biçim alır. Yatay gibi birbirine dik olan hareket bileşenlerini kullanıyoruz. x yön ve dikey y yön – bağımsızdır.
Mermi Hareketi Kinematiği Problemleri İçin Problem Çözme Stratejisi:
Durumun bir diyagramını çizin. Tek boyutlu harekette olduğu gibi, senaryoyu çizmek ve koordinat sistemini belirtmek yararlıdır. Etiketleri kullanmak yerine x, v ve bir konum, hız ve ivme için, hareketi her boyutta ayrı ayrı etiketlemenin bir yoluna ihtiyacımız var.
Yatay yön için, kullanımı en yaygın olanıdır. x pozisyon için ve vx hızın x bileşeni için (bu yönde ivmenin 0 olduğuna dikkat edin, dolayısıyla bunun için bir değişkene ihtiyacımız yok.) y yön, kullanımı en yaygın olanıdır y pozisyon için ve vy hızın y bileşeni için. Hızlanma etiketlenebilir biry ya da yerçekiminden kaynaklanan ivmeyi bildiğimiz gerçeğini kullanabiliriz. g negatif y yönünde ve bunun yerine bunu kullanın.
Problemi iki bölüme ayırarak bilinen ve bilinmeyen niceliklerin bir listesini yazın: dikey ve yatay hareket. Bir eksen boyunca uzanmayan herhangi bir vektör miktarının x ve y bileşenlerini bulmak için trigonometri kullanın. Bunu iki sütun halinde listelemek faydalı olabilir:
(tablo 1'i ekleyin)
Not: Hız, bir açıyla birlikte büyüklük olarak verilirse, Ѳ, yatayın üzerinde, ardından vektör ayrıştırmasını kullanın, vx= vcos (Ѳ) ve vy= vsin (Ѳ).
Üç kinematik denklemimizi önceden düşünebilir ve bunları sırasıyla x ve y yönlerine uyarlayabiliriz.
X yönü:
x_f=x_i+v_xt
Y yönü:
v_{yf}=v_{yi}-gt\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\\ (v_{yf})^2 = (v_{yi})^2- 2g (y_f - y_i)
içindeki ivmeye dikkat edin. y Yukarının pozitif olduğunu varsayarsak yön -g'dir. Yaygın bir yanılgı, g = -9.8 m/s olduğudur.2, ancak bu yanlıştır; g kendisi basitçe ivmenin büyüklüğüdür: g = 9.8 m/s2, bu yüzden ivmenin negatif olduğunu belirtmemiz gerekiyor.
Bu boyutlardan birinde bilinmeyeni bulun ve ardından her iki yönde ortak olanı ekleyin. İki boyuttaki hareket bağımsız iken, aynı zaman ölçeğinde gerçekleşir, dolayısıyla zaman değişkeni her iki boyutta da aynıdır. (Topun dikey hareketi için geçen süre, yatay hareketi için geçen süre ile aynıdır.)
Mermi Hareketi Kinematiği Örnekleri
Örnek 1: 20 m yüksekliğindeki bir uçurumdan 50 m/s başlangıç hızıyla yatay olarak bir mermi fırlatılıyor. Yere çarpmak ne kadar sürer? Uçurumun tabanından ne kadar uzağa iniyor?
(resim 4'ü ekleyin)
Bilinen ve bilinmeyen miktarlar:
(tablo 2'yi ekleyin)
İkinci dikey hareket denklemini kullanarak yere çarpmak için geçen süreyi bulabiliriz:
y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\implies t=\sqrt{\frac{(2\times 20)} g}=\underline{ \bold{2.02}\text{ s} }
Sonra nereye düştüğünü bulmak için, xf, yatay hareket denklemini kullanabiliriz:
x_f=x_i+v_xt=50\times2.02=\underline{\bold{101}\text{ s}}
Örnek 2: Bir top yatayla 30 derecelik bir açıyla zemin seviyesinden 100 m/s hızla fırlatılıyor. Nereye iniyor? Hızı ne zaman en küçüktür? Bu sırada konumu nedir?
(resim 5'i ekleyin)
Bilinen ve bilinmeyen miktarlar:
İlk önce hız vektörünü bileşenlere ayırmamız gerekiyor:
v_x=v_i\cos(\theta)=100\cos (30)\yaklaşık 86.6 \text{ m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=100\sin (30)=50 \ metin{ m/s}
O halde miktar tablomuz:
(tablo 3'ü ekleyin)
İlk önce topun havada olduğu zamanı bulmalıyız. Bunu ikinci dikey denklem_ ile yapabiliriz. Son _y değerini belirlemek için parabolün simetrisini kullandığımızı unutmayın. hız, başlangıç değerinin negatifidir:
Daha sonra içinde ne kadar hareket ettiğini belirleriz. x bu sefer yön:
x_f=x_i+v_xt=86,6\kez 10,2\yaklaşık\altı çizili{\bold{883}\text m}
Parabolik yolun simetrisini kullanarak, hızın en küçük olduğunu belirleyebiliriz. 5,1 sn, mermi hareketinin zirvesindeyken ve hızın dikey bileşeni 0 olduğunda. Bu andaki hareketinin x ve y bileşenleri:
x_f=x_i+v_xt=86,6\times 5,1\yaklaşık\underline{\bold{442}\text m}\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2=50\times5.1- \frac 1 2 9,8 \times 5,1^2\yaklaşık \underline{\bold{128}\text{ m}}
Kinematik Denklemlerin Türetilmesi
Denklem #1: İvme sabit ise, o zaman:
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
Hızı çözersek:
v_f=v_i+at
Denklem #2: Ortalama hız iki şekilde yazılabilir:
v_{ort}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
_v'yi değiştirirsekf _1 numaralı denklemdeki ifadeyle şunu elde ederiz:
\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{((v_i+at)+v_i)}{2}
için çözme xf verir:
x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 at^2
Denklem #3: için çözerek başlayın t 1. denklemde
v_f=v_i+at \ima eder t=\frac{(v_f-v_i)}{a}
için bu ifadeyi takın t ortalama hız ilişkisinde:
v_{ort}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}\implies \frac{(x_f-x_i)}{(\frac{(v_f-v_i) )}{a})}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
Bu ifadenin yeniden düzenlenmesi şunları verir:
(v_f)^2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)
